Niveau LicenceMaths 2e/3e a

distance et inf

Posté par
Thomasdxb 31-07-22 à 09:26

Salut,

Je continue avec mes histoires d'inf, cette fois-ci avec des distances.

On demande de montrer que pour $F$ espace vectoriel d'un espace vectoriel normé $E$ , pour tout $a$ réel, on a $d(ax,F)=|a|d(x,F)$ .
On rappelle que pour tout $x\in E$ , $d(x,F)=\inf_{y\in F} d(x,y)$ .

J'essaye de procéder par double inégalité.
Tout d'abord, $\inf_{y\in F} d(ax,y)\le d(ax,ay)$ car $ay\in F$ (sev).
Or, $d(ax,ay)=|a|d(x,y)$ puisque d dérive d'une norme sur $E$ , puis sur $F$ (sev).
Donc $\inf_{y\in F} d(ax,y)\le |a|d(x,y)$ puis, par passage à l'inf, on obtient que $d(ax,F)\le |a|d(x,F)$ .

Par contre, comment démontrer que $|a|d(x,F)\le d(ax,F)$ ?
Pour ce faire, j'ai pensé à démontrer l'inclusion $\{d(ax,y),y\in F\}\subset \{|a|d(x,y),y\in F\}$ .

Est-ce la bonne méthode ?

Merci !

Posté par re : distance et inf 31-07-22 à 11:35

Oui pour la première inégalité. Pour la second, tu peux faire comme on a dit ou bien que tu as montré la première inégalité pour tout x et pour tout a réel, donc elle est valable pour 1/a aussi quand a est non nul. Il ne te restera plus qu'à vérifier que l'inégalité est vraie aussi quand a est nul, ce qui ne devrait pas êter trop difficile.

Soient $x'\in E$ et $a'>0$ . On pose $x = a'x'$ et $a = \dfrac{1}{a'}$ . On applique l'inégalité déjà démontrée :

$d(x', F) = d(ax, F) \leqslant |a|d(x,F) = \dfrac{1}{|a'|}d(a'x', F)$

Soit encore, en multipliant $par |a'|>0$ : $|a'|d(x', F) \leqslant d(a'x', F)$ . Ce qu'il fallait démontrer

Posté par re : distance et inf 31-07-22 à 11:38

Mon message comporte des coquilles, je me permets de double-poster pour les corriger

1) "Pour la seconde, tu peux faire comme tu a dit, ou bien te souvenir du fait que tu as déjà montré"

2) Soient $x'\in E$ et $a' \neq 0$ (il n'est pas nécessaire que a' soit positif)

Posté par re : distance et inf 04-08-22 à 10:06

Merci Ulmière Désolé pour ma réponse tardive !

Posté par re : distance et inf 05-08-22 à 02:04

Bonsoir

Pour la seconde partie $|a|d(x,F)\le d(ax,F)$ ) ne peut-on pas procéder ainsi :
Soit $x\in E$ et $a\in \R$

$\begin{array}{ll}|a|d(x,F)=|a|\inf_{y\in F}(d(x,y)&\le |a|d(x,y), \quad \forall y\in F\\&=d(ax,ay),\quad \forall y\in F\\&=d(ax,y'),\quad \forall y'\in F\end{array}$

Ainsi $|a|d(x,F)$ est un minorant de $\{d(ax,y'),\quad y'\in F\}$ et puisque $d(ax,F)$ est le plus grand des minorants, on a $|a|d(x,F)\le d(ax,F)$

Posté par re : distance et inf 05-08-22 à 11:50

On peut oui, je voulais lui montrer comment se servir de ce qu'il avait déjà fait pour déduire l'autre inégalité sans effort grâce à la symétrie.

Une autre manière de procéder est la suivante : caractérisation séquentielle de l'inf. On se donne une suite $(y_n)$ d'éléments de F telle que $d(x, y_n)$ tende vers $d(x,F)$ et une suite $(y_n(a))$ telle que $d(ax, y_n(a))$ tende vers $d(ax, F)$ .

Pour tout n, on a

$|a|d(x, F) \leqslant |a|d(x, y_n(a)/a) = d(ax, y_n(a)) \longRightArrow d(ax, F)$

et

$d(ax, F) \leqslant d(ax, ay_n) = |a|d(x,y_n)\longRightArrow |a|d(x,F)$ .

Ce qui fournit les deux inégalités cherchées.

Posté par re : distance et inf 05-08-22 à 11:57

Coquille: je me suis planté dans le LaTeX dans chacune des deux inégalités, il faut bien sûr lire

$\cdots = d(ax, y_n(a)) \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} d(ax, F)$

et

$\cdots = |a|d(x, y_n) \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} |a|d(x, F)$

Posté par re : distance et inf 05-08-22 à 15:10

Merci, c'est toujours très instructif de voir plusieurs preuves d'un même résultat.

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