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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Distance et minimum

Posté par
Bubble
18-03-19 à 16:44

Bonjour,

Je suis en licence 2 de mathématiques et j'ai un devoir maison à faire en géométrie. Cependant, le cours avançant très vite, je me retrouve un peu perdue pour parvenir à réussir mon devoir maison. En voici l'intitulé:
"A,B,C sont trois points distincts de E. Soit f: E -> R
                                                                                                  M I-> 3MA^2 + 2MB^2 -MC^2
(a) Montrer que f admet un minimum strict en un point G que l'on déterminera (c'est-à-dire un point G tel que si M∈ E\{G} alors f(M)>f(G) )
(b) Soit D une droite de E. Montrer que la restriction de f à D, c'est-à-dire l'application f|D : D -> R
          M I-> f(M) admet un minimum strict en un point H que l'on déterminera.
(c) On suppose n=3 et on rapporte E au repère orthonormé (O,i,j,k). Soient A,B et C les points de E de coordonnées respectives (0,-1,3), (2,5,0) et (-4,3,-3).
      (i) Déterminer G et f(G).
      (ii) Dans le cas où D est la droite caractérisée par D : x+y-2z-3=0
                                                                                                                                        x-z=-1  déterminer H puis f(H). "

Je ne parviens pas à répondre aux deux premières questions, je ne peux donc même pas chercher les (c) i et ii. Déjà, j'ai du mal à prouver l'existence car je ne sais pas d'où partir pour le construire. Ensuite, je ne vois pas comment dans cette situation monter que f admet un minimum strict. Je comprend parfaitement de quoi il s'agit, c'est juste qu'au niveau de la méthode je ne sais pas quoi appliquer. Je vous remercie d'avance pour votre aide.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Distance et minimum 18-03-19 à 16:58

Bonjour,
C'est quoi E ?
Sinon, utiliser un barycentre.
3+2-1 0 .

Posté par
Bubble
re : Distance et minimum 18-03-19 à 17:01

Ce n'est pas précisé dans l'énoncé mais je suppose que c'est une espace affine euclidien car c'est là-dessus que l'on travail.
Je n'avais pas du tout pensé au barycentre. Je vais voir ce que ça me donne, merci beaucoup.

Posté par
etniopal
re : Distance et minimum 18-03-19 à 17:08



Il semble que E  soit  n muni de son produit scalaire canonique  <. , .> et de sa norme associée N .


1.On se donne  a , b , c  distincts dans E  et on définit  f : E   , x   3N²(x - a) + 2 N²(x - b) - 2N²(x - c) .  
f est  C . On pose   m = Inf(f) .
Comme  f(x) +  quand  N(x) +  l'ensemble  S formé des points  x tels que f(x) = m est non vide .
Si c   S on a  :  Gra(f)(c) = 0  
.........



Posté par
Bubble
re : Distance et minimum 18-03-19 à 17:31

Sylvieg, j'ai reparcouru mon cours sur les barycentres mais nous ne l'avons appliqué qu'à des vecteurs. Cela fonctionne-t-il de même avec des distances? Dans ce cas, M=bar ((A,3),(B,2),(C,-1)) c'est bien ça?  Mais je ne vois pas ensuite comment prouver l'existence du minimum, je suis désolé.

Etniopal, je ne comprends pas comment on passe de 3MA^2 + 2MB^2 -MC^2 à 3N^2(x-a)+2N^2(x-b)-N^2(x-c), ni ce qu'est Gra(f)(c). Sinon, je voulais moi aussi passer par des limites mais je voyais pas comment en calculer sur un espace affine euclidien.

Posté par
larrech
re : Distance et minimum 18-03-19 à 17:47

Bonjour,

Je pense qu'il s'agissait de  calculer le gradient de

f(,x,y)= 3((x-xa)2+(y-ya)2)+2((x-xb)2+(y-yb)2)-((x-xc)2+(y-yc)2)

et de l'égaler à 0.

On trouve effectivement que G = bar ((A,3),(B,2),(C,-1))

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Distance et minimum 18-03-19 à 17:50

Tu utilise Chasles et développe les carrés.
Par exemple MA2 est le carré scalaire du vecteur \vec{MG}+\vec{GA} :
(\vec{MG}+\vec{GA})^{2} = MG^{2} + 2 \vec{MG}.\vec{GA} + GA^{2}

Posté par
Bubble
re : Distance et minimum 18-03-19 à 17:51

Ah d'accord, merci. Je n'ai pas la même notation, c'est ce qui fait que je n'avais pas fait le lien^^

Très bien, merci pour la confirmation. Mais arrivé là, comment je m'en sers pour monter que f admet un minimum? Désolé, je suis vraiment perdue en géométrie.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Distance et minimum 18-03-19 à 17:52

Je suis peut-être un peu terre à terre ?

Posté par
Bubble
re : Distance et minimum 18-03-19 à 17:52

D'accord, je fais ça Sylvieg. J'avais pas vu le message.

Posté par
matheuxmatou
re : Distance et minimum 18-03-19 à 17:54

bonjour

on faisait ç en terminale il y a quelques années !

le plus astucieux est ce que dit Sylvieg en passant par G barycentre de (A,3) (B,2)(C,-1)

Posté par
Bubble
re : Distance et minimum 18-03-19 à 18:18

Déjà, merci pour toutes vos réponses. J'ai donc utilisé la relation de chasles dans l'expression 3MA^2 +2MB^2 -MC^2 ce qui me donne à la fin 4MG^2 +GA^2 + 2GB^2 -GC^2 ce qui est égal si je ne dis pas de bétises à 4MG^2 + f(G). Malgré tout, je ne vois pas comment poursuivre.

Posté par
matheuxmatou
re : Distance et minimum 18-03-19 à 18:20

ben oui

f(M) = 4MG² + f(G)

et tu ne vois pas derrière cela le minimum ?

Posté par
Bubble
re : Distance et minimum 18-03-19 à 18:35

Je dirai que le minimum est atteint quand M=G et qu'il vaut donc f(G).

Posté par
matheuxmatou
re : Distance et minimum 18-03-19 à 18:36

ouiiii !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Distance et minimum 18-03-19 à 18:40

Et de plus si M G alors f(M) > f(G) .

Je ne vais plus être disponible.
Merci matheuxmatou d'avoir pris la suite

Posté par
Bubble
re : Distance et minimum 18-03-19 à 18:51

Merci beaucoup.

Maintenant pour la seconde question, la seule chose qui change est qu'en fait on ne cherche pas le minimum sur tout E mais seulement sur les points de la droite D . Je sais que l'équation générale d'une droite est de la forme ax+by+c=0. Il faut donc que le minimum vérifie cette condition. Mais je ne vois pas quoi faire. Car si j'applique la même méthode qu'à la question précédente j'ai l'impression de refaire la même chose.  

Posté par
matheuxmatou
re : Distance et minimum 18-03-19 à 18:57

Je sais que l'équation générale d'une droite est de la forme ax+by+c=0

qui te dit qu'on est le plan ????

et le fait qu'on ait des normes et des produits scalaires ne te donne pas une petite idée du point H un peu astucieux ?

Posté par
Bubble
re : Distance et minimum 18-03-19 à 19:11

Désolé, mais je ne vois pas vraiment. Ça me fait penser à la notion d'orthogonalité.

Posté par
matheuxmatou
re : Distance et minimum 18-03-19 à 19:13

ouiiii ! on est en licence 2/3 de math là... va falloir se secouer et chercher / explorer / tester... pas toujours attendre qu'on te tienne par la main

f(M) = 4MG² + f(G)

soit H le projeté orthogonal de G sur (D) ...

Posté par
Bubble
re : Distance et minimum 18-03-19 à 19:58

J'ai utilisé la relation de chasles dans f(M)=4MG^2 +f(G) et je trouve à la fin f(M)= 4MH^2 + 6HG^2 + f(H).  

Posté par
matheuxmatou
re : Distance et minimum 18-03-19 à 20:02

le f(G) n'était pas vraiment gênant ... c'est une constante ! mais bon

en compliquant tes calculs tu as dû te planter...

pour M(D)

f(M)= 4MH^2 + 4HG^2 + f(G) = f(M)= 4MH^2  + f(H).  

Posté par
Bubble
re : Distance et minimum 18-03-19 à 20:04

Oui je pense en effet, je reprendrai mes calculs juste après manger. Je conclus donc que H est le minimum de la même façon que pour la question précédente. Merci beaucoup.

Posté par
matheuxmatou
re : Distance et minimum 18-03-19 à 20:06

pas de quoi...

Posté par
Bubble
re : Distance et minimum 18-03-19 à 21:41

(Re) Bonsoir,
j'ai réussi à trouver les coordonnées de G qui sont (2,1,3) et à calculer son image, c'est à dire à résoudre la question (c) (i). Maintenant je me trouve en difficulté face à la question (ii). L'énoncé me donne déjà 2 équations, il faudrait donc que j'en trouve une troisième, car j'ai 3 inconnues. J'ai essayé en utilisant les vecteurs normaux mais ça n'a pas aboutis.  

Posté par
lafol Moderateur
re : Distance et minimum 18-03-19 à 23:46

Bonsoir
H projeté orthogonal de G sur (D) <==> H est sur (D) (tes deux équations) et (GH) est orthogonale à (D) : un produit scalaire à écrire. pour avoir un vecteur directeur de (D), tu peux chercher le produit vectoriel des deux vecteurs normaux aux deux plans dont l'intersection donne (D)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Distance et minimum 19-03-19 à 08:00

Bonjour,
Une remarque :
Comment penser au projeté orthogonal dans la question b ?
D'abord la lettre H (de même, la lettre G faisait penser à un barycentre...).
Puis dans f(M) = 4MG² + f(G) , il faut rendre 4MG² minimum.
Le point G et la droite D étant donnés, quel est le point M de D où la distance MG est minimum ?
On est censé avoir la réponse dans le plan ou dans l'espace dès la terminale, voire la première.

Posté par
Bubble
re : Distance et minimum 19-03-19 à 08:06

D'accord, merci beaucoup. Je ne savais pas comment calculer un vecteur directeur de D. J'ai pu finir mon devoir maison, merci à tous

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Distance et minimum 19-03-19 à 08:12

De rien, et à une autre fois sur l'île



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