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Niveau première
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distance et produits scalaires

Posté par Céline (invité) 15-02-02 à 02:03

A et B sont 2 points donnés et O est le milieu de [AB]. On pose
AB=d. Le but de l'exercice est de trouver l'ensemble Lk des points
M tels que MA²+MB²=k, où k est un réel donné.

1. Démontrer que l'ensemble Lk est l'ensemble des points M
tels que OM²=(2k-d²)/4

2. Discutez selon le signe de 2k-d², la nature de l'ensemble Lk

pour la 1ère question, j'ai pris l'égalité dans les 2 sens mais
sans résultat, je suis aussi partie de k, mais rien non plus.

pour la 2ième, je ne comprends pas "nature", ça veut dire quoi?

Merci pour votre aide

Posté par Dran (invité)re : distance et produits scalaires 15-02-02 à 14:40

Je note v(u) pour "vecteur u"
On a : MA²=(v(AM))² (carré scalaire)
=(v(AO)+v(OM))²
=OA²+2v(AO).v(OM)+(v(OM))²
=OA²+OM²+2v(AO).v(OM)
De même :
MB²=OB²+OM²+2v(BO).v(OM)
D'où :
MA²+MB²=OA²+OB²+2OM²+2v(OM).(v(AO)+v(BO))
Comme O est le milieu de [AB] on a :
MA²+MB²=2OA²+2OM²
et comme OA=d/2
MA²+MB²=d²/2+2OM²
Par conséquent, MA²+MB²=k si et seulement si OM²=(k-d²/2)/2
soit OM²=(2k-d²)/4

2) Pour la nature, c'est pas compliqué : géométriquement, sur quel
ensemble "varie" le point M lorsque l'on impose une telle
contrainte.
Or (souvenir de collège...), l'ensemble des points M vérifiant
OM=R (ou encore de façon équivalente OM²=R²) lorsque R>0 est un cercle
de centre O et de rayon R !
Si R<0 ou si R=0 réfléchissez un peu sur la position du point M, si
celui-ci existe...
Il suffit de poser ici R²=(2k-d²)/4 et d'analyser le signe de ce
quotient
suivant les valeurs de k .
Voila !



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