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Distance h(x) minimale.
Bonjour ,
Merci d'avance. 
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O ;I ;J), on considère les points A , B , C de coordonnées respectives (2 ; 1) , (0 ; 1) et (0 ; -1).
On note (∆) le demi-axedes abscisses correspondant aux positifs.
Pour tout M de (∆) , on pose h(M)=MA + MB +MC.
On se propose de trouver la position M sur (∆) tel que la distance h(M) soit minimale.
1) Démontrer que ,
.
2) Étudier la dérivabilité de h en 2.
3) Calculer la limite de h en +∞.
4) Étudier les variations de h est dresser son tableau de variation.
5) En déduire la valeur de pour laquelle la distance
est minimale.
Réponses
1) Pour tout point M de (∆) , h(M)=MA + MB +MC.
Soit M(x ;y).
On a
==>
==>
==>
Donc h(M) = MA+MB +MC
==>
Est ce que ça va ?
Bonjour,
je pense tout de même à une erreur de recopie d'énoncé sur les coordonnées de A !
n'est pas cohérent avec A (2; 1)
comme la formule de la 1) est donnée, elle est réputée "bonne" (l'écart étant largement au delà d'une simple faute de frappe)
si les coordonnes de A sont (2; 0) tout rentre dans l'ordre.
Ok
Bonjour,
Tu n'utilises pas une des données : M
(
)Pourtant c'est ce que je croyais faire
1) Pour tout point M de (∆) , h(M)=MA + MB +MC.
Soit M(x ;0) car M ∈ (∆).
On a
==>
==>
==>
Donc
(∆) étant le demi axe des abscisses x positifs , .
par bourrage de mou ?
on aligne des calculs pour faire illusion et on écrit à la fin le résultat qu'on devrait obtenir (et qu'on n'a pas du tout obtenu)
déja dit : l'énoncé
...on considère les points A , ... de coordonnées respectives (2 ; 1) ,...
...
1) Démontrer que
deux façons de le rendre juste :
- soit on corrige A en (2; 0)
- soit on corrige
la deuxième modification me semble excessivement lourde pour une "faute de frappe"
(et conduit à une équation de degré 4 à la fin...)
1) Pour tout point M de (∆) , h(M)=MA + MB +MC.
Soit M(x ;0) car M ∈ (∆).
On a
==>
==>
==>
Donc
(∆) étant le demi axe des abscisses x positifs , .
D'où
pour tout x ≥ 0 , |x-2|=|2-x|
2)
*
* ,
==> (à gauche)
*
==> (à droite)
Par conséquent f n'est pas dérivable en 2.
3) ,
.
==>
==>
4) *
h est dérivable sur ]0 ;+∞[.
* Maintenant je suis bloqué parce que h'(x) ne s'annule pas sur [0 ;+∞[
Et donc h(0)=4 est le minimum de h sur [0 ; +∞[
D'où la valeur de pour laquelle la distance h(x) est minimale est 0.
Ce qui est vrai lorsque x-2 s'écrit sans valeur absolue dans h(x) , c'est-à-dire (la courbe rouge)
Et faux avec x-2 avec valeur absolue c'est-à-dire (la courbe verte)
2) ton racine de 3 est faux
!!
on obtient une forme indéterminée 0/0 et il faudra lever l'indétermination
pour la 3) on verra plus tard.
pour info : les vraies courbes calculées par Geogebra (calcul formel) et pas par des calculs perso à la main erronés.
3) ,
.
est faux
il faut étudier séparément dans [0; 2] et dans ]2; +
[
pour la limite en +, on est dans ]2; +[
4) là aussi il faut étudier séparément dans [0; 2[ et dans ]2; +[
car les dérivées y sont différentes
d'ailleurs tu affirmes " h est dérivable sur ]0 ;+∞[. "
en contradiction avec ta conclusion de la question 2 :
"Par conséquent f [ça s'appelle h] n'est pas dérivable en 2".
"Par conséquent f [ça s'appelle h] n'est pas dérivable en 2".
Désolé pour l'erreur de frappe ..
pour info : les vraies courbes calculées par Geogebra (calcul formel) et pas par des calculs perso à la main erronés.
Comment faites-vous ?
bein si tu as trouvé la valeur qui annule la dérivée, tu as du trouver toi-même la dérivée 
(correcte bien entendu)
ceci dit pour faire faire les calculs par Geogebra (en devoir maison et pour vérifier ses propres calculs)
on tape dans la zone de saisie la fonction h(x) = 2 sqrt(x^2+1) +abs(x-2) qu'on a déja (vu qu'elle est donnée dans l'énoncé )
puis on tape : h'(x)=dérivée[h]
c'est magique... mais la formule de la dérivée obtenue n'est pas forcément écrite pareil que celle qu'on fait à la main,
après, c'est de la déco (couleurs, limitation à [0; +[ etc
pour le fun , un petit complément hors sujet
soit un triangle ABC quelconque dont aucun angle n'est > 120°
le point M du plan tout entier pour lequel la somme des distances MA+MB+MC est minimale s'appelle le point de Fermat-Torricelli-Steiner (ils en revendiquent tous trois la paternité ) du triangle
en ce point , MA, MB et MC forment trois angles égaux à 120° :
(pontillés bleus = construction de ce point)
si un des angles est >= 120°, le point à somme minimale est ce sommet là lui-même.
dans le cadre de notre exo, le triangle ABC est isocèle en A et donc par symétrie le point de Fermat est sur [OA) et correspond donc à notre point M cherché.
l'angle BMC de 120° donne OMB = 60° et donc OM = OB/sqrt{3}
le résultat OM = 1/sqrt(3) est d'ailleurs indépendant de l'abscisse de A du moment qu'elle est > 1/sqrt(3) !
Mais pourquoi cette précision :
M du plan tout entier
Dans le même triangle ABC quelconque , quel seraient l'angle particulier
MA, MB et MC formeraient ils trois angles égaux à
Quel serait la mesure la distance OM alors ?
distance maximale : à l'infini, bien entendu,
ou si on se limite à l'intérieur du triangle : en un de ses sommets, celui opposé au plus petit côté
regarde ta courbe h(x) : elle n'a pas de maximum sur |R
et si on se limite à [0; 2] ("l'intérieur du triangle") le maximum est en A
"dans tout le plan" = sans aucune autre contrainte, en particulier pas sur une droite imposée à priori comme dans l'exo.
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