Bonjour,


On nomme A le point de coordonnées (2;3;2).

Dans le plan P de repère (O;i,j), on désigne par D la droite d'équation y = x.
M est un point de la droite D.

1° Démontrer que, pour tout point M, il existe un réel x tel que M a pour coordonnées (x ; x ; O).

Comme M est sur la droite y=x, si tu choisis x pour abscisse, alors y=...

Par ailleurs tous les points du plan ont z=0 donc

M(x,x,0)


2° Calculer AM au carré en fonction de x.

Formule :

AM²=(xM-xA)²+(yM-yA)²+(zM-zA)²

Je te laisse finir...

3° Déterminer la position de Mo du point M pour que la distance AM soit minimale.

(x-2)²+(x-3)²+4

sera minimum pour (x-2)²+(x-3)² minimum donc  pour (en développant):

pour 2x²-10x+13(1) mimimum.

Cette fonction de la forme ax²+bx+c a pour minimum :

x=-b/2a  soit ds le cas de (1) minimum pour :

x=10/(2*2)=5/2



4° Démontrer que la droite (AMo) est orthogonale à D.

Vecteurs AMo(xM-xA;yM-yA;zM-zA)

Tu appliques et tu trouves :

vect AMo(1/2;-1/2;0)

puis :

vect OMo(5/2;5/2;0)

Or 2 vecteurs u(x,y,z) et v(x';y';z') sont ppd( sauf erreurs) si :


xx'+yy'+zz'=0

Dans le cas des vect AMo et OMo cela donne :

5/2*1/2+(-1/2)*5/2+0*(-2) qui est bien =0.

Les vect. AMo et OMo sont ppd donc AMo est ppd droite D qui porte OMo.

...sauf erreurs...

Salut.

Bonjour,

1° La droite D est dans le plan de repère (O,i,j), donc dans le plan (xOy), c'est à dire que z=0.
Comme x=y, alors tout point de la droite D a pour coordonnées (x,x,0).

2° x_AM²=(x_A-x_M)²
et y_AM²=(y_A-y_M)²
et z_AM²=(z_A-z_M)²

AM²=x²+y²+z²
Comme A a pour coordonnées (2,3,2), il est facile de calculer AM² en fonction de x

AM²=2x²-10x+17 (je crois)

3° Si tu as déja étudié les trinômes, tu peux déterminer le sommet de a parabole d'équation 2x²-10x+17
comme 2>0 alors les coordonnées du sommet correspondent à x₀et à AM₀

Sinon tu peux étudier la fonction et trouver son minimum

tu trouves dans les deux cas x₀=5/2

Donc M₀(5/2,5/2,0)

4° Pour déterminer l'orthogonalité de AM₀ et de D, tu peux calculer le vecteur directeur de D
il a pour coordonnées (-1,1,0)
et tu prouves qu'il est orthogonal à AM₀(1/2,-1/2,-2) avec la formule xx'+yy'+zz'=0
comme les vecteurs directeurs des droites AM₀ et D sont orthogonaux, alors les droites sont orthogonales

CQFD !