bonjour à tous, alors voila j'ai un DM à faire qui est le suivant: On considère la représentation graphique de la fonction exponentielle dans un repère orthonormé. On cherche ici à répondre à la question suivante: Existe-t-il parmi tous les points de la courbe de la fonction f(x)=e^x, un point plus près que tous les autres de l'origine O du repère?
Si ce point existe, déterminer une valeur approchée à 10-2 près de son abscisse et de sa distance au point O.
c'est une très ouverte et je ne sais pas du tout quoi faire, les etapes ni par quoi commencer. help please.
salut
si x est l'abscisse d'un point M de la courbe de la fonction exp alors quelle est l'ordonnée de M ?
que vaut alors la distance OM ?
soit M un point d'abscisse x, f(x)=e^x donc M(x;e^x) et
OM= racine[(x-0)²+(e^x-0)²]=racine(x²+e^2x)
ensuite tableau de variation avec la dérivée et on regarde le minimum c'est ca ?
mais la dérivée me donne f'(x)=2x+2e^2x <=>2(x+e^2x)
et la je ne vois pas très bien comment je peux faire le tableau de variation (les valeurs de x en haut)..
déjà si x >= 0 tu peux conclure que f'(x) >=0
reste le cas x < 0
étudie alors les variations de f' en calculant f"(x)
....
oui mais je vois pas pourquoi je dois calculer f seconde et même j'arrive pas à construire le tableau de variation.. même en ayant calculé f seconde
en connaissant les variations de f' tu peux éventuellement déterminer son signe !!
f"(x) = ...?
signe de f" : ... ?
donc f' est .... ?
or f'(0) = .... ?
et lim f'(x) = ... ? (quand x -->-oo)
donc TVI => .... ?
f''(x)=2(2e^x+1)
donc strictement positif sur R (je ne connais pas la justification)
f' est donc croissant
or f'(0)=2
et lim(f'(x)) quand x=>-infini= -infini
et donc.. bah je ne sais pas justement..
donc f' est strictement croissante de -oo à 2
d'après le TVI il existe donc un réel r < 0 tel que f'(r) = 0 et
x < r => f'(x) < 0
x > r => f'(x) > 0
donc f est strictement décroissante sur ]-oo, r] et strictement croissante sur [r, 0]
or f est croissante sur [0, +oo[ donc f est strictement croissante sur [r, +oo[
REM :
1/ on ne peux pas déterminer r
2/ je te conseille de représenter f, f' et f" sur geogebra par exemple ... afin de voir les choses ....
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