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Distance minimale dans le plan

Posté par
barka54
18-06-21 à 20:02

Salut cher(e)s îlien(ne)s;

J'ai un qcm qui me bloque . J'ai ainsi besoin de votre aide.
Merci d'avance.

Dans un repère orthonormé (O ;i; j), soit A(a;b) et B(c;d) a, b, c et d des réels positifs non nuls; b≠d et a≠c. Soit M un point appartenant à l'axe des abscisses.
L'abscisse du point M pour laquelle AM+BM soit minimale est:
a)  x=\frac{bc-ad}{b-d}
b)  x=\frac{bc+ad}{b+d}
c)  x=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}{2(a-c)}
d)  x=\frac{a+c}{b+d}
e) Aucune réponse juste.

[Mon début]
Le point M a pour coordonnées (x;0).
La distance AM+BM vaut :
 AM+BM=\sqrt{(x-a)^{2}+b^{2}}+\sqrt{(x-c)^2+d^{2}} .
J'ai procédé en supposant que cette distance est minimale lorsque x-a=0 et x-c=0
<=> x=a et x=c. C'est un système de deux équations ayant pour inconnu x .La résolution donne un ensemble vide puisque a≠c .
Mon QCM n'aurait pas alors une bonne réponse (?)... je ne sais pas si vous avez une autre piste.

Posté par
carpediem
re : Distance minimale dans le plan 18-06-21 à 21:09

salut

as-tu essayé avec geogebra  ? ... pour comprendre que ton raisonnement ne tient absolument pas la route !! (voire même est totalement irrationnel)

il est évident que la fonction M --> f(M) = AM + BM est continue et admet un minimum pour un point M dont l'abscisse appartient à l'intervalle [a, c] (d'après le théorème de Pythagore)

de plus en terminale tu as tous es outils pour étudier la fonction x --> f(x) en étudiant sa dérivée ...

Posté par
Glapion Moderateur
re : Distance minimale dans le plan 18-06-21 à 21:11

Bonsoir, non pourquoi la distance serait minimale pour x-a=0 et x-c=0
il faut être plus patient que ça. Dériver l'expression et trouver pour quel x elle s'annule.
une des réponses est juste.

Posté par
alb12
re : Distance minimale dans le plan 18-06-21 à 21:57

salut,
alternative
1/ faire un graphe
2/ faire apparaitre le point A'(a;-b)

Posté par
vham
re : Distance minimale dans le plan 20-06-21 à 11:21

Bonjour,

--> barka54 : Avez-vous abouti en suivant le conseil simple de alb12 ?
Surtout ne pas se lancer dans des calculs avec des sommes de racines carrées
la somme AM+MB est la même que celle de A'M+MB
et chacun sait que la distance la plus courte de A' à B est en ligne droite...

Posté par
barka54
re : Distance minimale dans le plan 22-06-21 à 08:08

  Salut,
Merci pour vos interventions.
En fait, en étudiant la fonction f(x), je constate qu'elle admet un minimum pour x=(bc-ad)/b-d.
Donc la bonne réponse serait a).

Posté par
alb12
re : Distance minimale dans le plan 22-06-21 à 08:55

ce resultat est peu vraisemblable car l'abscisse cherchee est positive

Posté par
carpediem
re : Distance minimale dans le plan 22-06-21 à 09:09

peux-tu nous montrer tes calculs intermédiaires ?

Posté par
barka54
re : Distance minimale dans le plan 22-06-21 à 17:55

Dans un premier temps, j'ai cherché à étudier f(x)=√((x-a)²+b²) + √((x-c)²+d²).
Elle est dérivable sur R.
sa dérivée est f'(x)=\frac{x-a}{\sqrt{(x-a)^{2}+b^{2}}}+\frac{x-c}{\sqrt{(x-c)^{2}+d^{2}}} .
Je cherche donc son signe sur R en cherchant ses éventuels zéros. En posant f'(x)=0, je trouve l'équation :
(x-a)√((x-c)²+d²)=-(x-c)√((x-a)²+b²)
J'ai dû négligligé les contraintes de résolution en élévant simplement les deux membres au carré. Après réduction, je trouve l'équation: (x-a)²d²=(x-c)²b²
Factorisation et résolution:
[(x-a)d-(x-c)b][(x-a)d+(x-c)b]=0
La premiere solution est x2=(ad-bc)/(d-b)=(bc-ad)/(b-d).
La deuxieme solution est x1=(bc+ad)/(b+d) ... c'est cette solution que j'avais inconsciemment ignorée ...je croyais donc que f n'avait qu'un seul extremum : ce qui n'est pas le cas.
Pour le moment je bloque ici .


Avec la méthode suggerée par' alb12:
La plus courte distance est telle que M soit un point de (A'B). En calculant la pente y de la droite (A'B) de deux façons differentes, on a:
y=d/(c-x)=b/(x-a). On trouve simplement x=(bc+ad)/(b+d).

Posté par
barka54
re : Distance minimale dans le plan 22-06-21 à 18:01

vham @ 20-06-2021 à 11:21

Bonjour,

--> barka54 : Avez-vous abouti en suivant le conseil simple de alb12 ?
Surtout ne pas se lancer dans des calculs avec des sommes de racines carrées
la somme AM+MB est la même que celle de A'M+MB
et chacun sait que la distance la plus courte de A' à B est en ligne droite...
c'était pourtant simple

Posté par
malou Webmaster
re : Distance minimale dans le plan 22-06-21 à 18:06

Bonjour
oui ce résultat est juste
et qui dit QCM dit rapidité souvent
donc privilégier une méthode de ce type, et non l'étude de fonction dont tu parles au dessus...beaucoup trop long pour une simple question de QCM

Posté par
carpediem
re : Distance minimale dans le plan 22-06-21 à 19:06

certes !! mais la méthode de alb12 qui est un classique pour qui fait de la géométrie pure (donc plus aucun de nos jeunes) est devenue une astuce pour ces mêmes jeunes !!

pour poursuivre sur la proposition de barka54 :

tout d'abord la nullité de la dérivée ne donne pas son signe et rien n'affirme que ce ne soit pas un maximum ...

quitte à permuter A et B on peut toujours supposer que a < c et alors

carpediem @ 18-06-2021 à 21:09

il est évident que la fonction M --> f(M) = AM + BM est continue et admet un minimum pour un point M dont l'abscisse appartient à l'intervalle [a, c] (d'après le théorème de Pythagore)

sinon l'énoncé nous le dit ...


juste pour le fun :

de plus on remarquera alors que a < x < c donc x - a > 0 et c - x > 0

la dérivée s'écrit alors f'(x) = \dfrac {x-a} {\sqrt {(x-a)^2 + b^2}} - \dfrac {c - x} {\sqrt {(x - c)^2} + d^2}}   et est une différence de deux nombres positifs

en réduisant au même dénominateur puis en multipliant par la quantité conjuguée du numérateur (qui est positive) on s'intéresse alors au signe du numérateur qui est :

N = (x - a)^2 [(x - c)^2 + d^2] - (c - x)^2 [(x - a)^2 + b^2] = d^2(x - a)^2 - b^2(x - c)^2 = [d(x - a) - b(x - c)][d(x - a) + b(x - c)] = [(d - b)x + bc - ad][(d + b)x - bc - ad]

les hypothèses sur les coefficients nous permettent d'affirmer que le second facteur s'annule en une valeur positive ...

ce qui n'est pas certain pour la racine du premier facteur ...

ce peut être un bon exercice de voir ce qui se passe sans supposer les coefficients positifs mais simplement avoir l'hypothèse a < c

et alors lorsque bd < 0 on retombe sur l'astuce ... sans (peut-être) voir que c'est l'astuce quand bd > 0 ...

Posté par
carpediem
re : Distance minimale dans le plan 22-06-21 à 19:08

au fait : pour qui sait se servir d'un brouillon ce n'est pas si long que ça puisqu'on ne "torche" que ce qui est nécessaire ...

bien sûr la solution géométrique est évidemment instantanée ... pour qui la connait ... ou ne l'oublie pas !!

Posté par
barka54
re : Distance minimale dans le plan 22-06-21 à 19:49

ουι justement  .

Posté par
barka54
re : Distance minimale dans le plan 22-06-21 à 19:51

Merci beaucoup à vous ..

Posté par
carpediem
re : Distance minimale dans le plan 22-06-21 à 20:54

de rien



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