Niveau Reprise d'études

Distances (Espaces métriques)

Posté par
Fractal 06-12-23 à 10:40

Bonjour,

Je suis en train de regarder un exercice dont j'ai la correction, mais je suis plutôt perdu et même la correction ne m'éclaire pas.
J'essaye en fait, avant d'avancer sur l'exercice, avant tout de me "représenter le truc".

Voici l'énoncé :

Soient les fonction du plan $\R^2$ dans $\R^+$ définies par :

$N_1(x)=\mid x_1\mid + \mid x_2\mid$

$N_2(x)=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$

$N_{\infty}(x)=max(\mid x_1\mid,\mid x_2\mid)$

, si $x$ a pour coordonnées $(x_1,x_2)$ .

Vérifier que $d_i(x,y)=N_i(x-y)$ est une distance de $\R^2$ pour $i=1,2,\infty$ .

Donc si je dis que prends $x(^{x_1}_{x_2})$ et $y(^{y_1}_{y_2})$ deux points de l'ensemble de départ, et que je prends la distance $d_1(x,y)$ entre ces deux points, j'obtiendrai dans l'ensemble d'arrivée la valeur positive $N_1(x-y)=\mid x_1-y_1\mid + \mid x_2-y_2\mid$ .

Est-ce exact où suis-je déjà totalement à la rue ?

Vous remerciant.

Posté par re : Distances (Espaces métriques) 06-12-23 à 10:42

salut

on a tout simplement d(x, y) = N(x - y) = N(y - x)

la distance entre deux points est la norme des vecteurs (opposés) construits à partir de ces deux points ...

Posté par re : Distances (Espaces métriques) 06-12-23 à 10:43

... en d'autres termes, si je prends 2 points du plan A(-1,-1) et B(2,1), j'aurai $d_1(A,B)=5$ ?