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Distances topologiquement equivalentes

Posté par
Molotov79 16-06-20 à 15:22

Bonjour ,
je voudrai de l'aide pour mon exercice que voici :

Exercice:On munit l'espace ]0;+[ de la distance \large \delta (x)=|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}|
a)Montrer que \large \delta (x) est une distance sur ]0;+[ (FACILE
b)Montrer que \large \delta (x) defini sur ]0;+[ a la meme topologie que la topologie usuelle

Pour resoudre la question b) qui me pose probleme je dois montrer que les distances d(x;y) et \large \delta (x) sur ]0;+[ sont equivalentes (impliquant alors qu'elles sont topologiquement equivalentes et aussi uniformement equivalentes)
ou une autre methode consiste a montrer qu'un ouvert sur l'espace metrique (]0;+[,d) est un ouvert sur (]0;+[,\large \delta (x))

N'ayant jamais fait d'exercice de ce genre car j'ai fait moi meme le cours de topologie juste avec l'aide des supports d'internet, je serai tres content que l'on me la traite avec les differentes manieres que j'ai indiquees pour que la prochaine fois je sache comment aborder des problemes pareils.

Merci

Posté par
Molotov79re : Distances topologiquement equivalentes 16-06-20 à 15:22

Rectification \large \delta (x;y)

Posté par
WilliamM007re : Distances topologiquement equivalentes 16-06-20 à 16:00

Bonjour.

Citation :
Pour resoudre la question b) qui me pose probleme je dois montrer que les distances d(x;y) et \large \delta (x) sur ]0;+[ sont equivalentes (impliquant alors qu'elles sont topologiquement equivalentes et aussi uniformement equivalentes)

Entends-tu par équivalentes qu'il existe c,C\in\R_+^* tels que
c\vert x-y\vert\le\left\vert\frac1x-\frac1y\right\vert\le C\vert x-y\vert ?
C'est faux.

Pour montrer que d et \delta sont topologiquement équivalentes, tu peux par exemple montrer qu'une suite (x_n)_{n\in\N} d'éléments de \R_+^* converge par rapport à d ssi elle converge par rapport à \delta.

Si ça peut t'aider, tu peux remplacer \delta par la distance (x,y)\mapsto\vert f(x)-f(y)\vert, où f:\R_+^*\to\R_+^* est un homéomorphisme quelconque.

Posté par
WilliamM007re : Distances topologiquement equivalentes 16-06-20 à 16:01

Citation :
Pour montrer que d et \delta sont topologiquement équivalentes, tu peux par exemple montrer qu'une suite (x_n)_{n\in\N} d'éléments de \R_+^* converge par rapport à d ssi elle converge par rapport à \delta.

convergence dans \R_+^* bien sûr

Posté par
Molotov79re : Distances topologiquement equivalentes 16-06-20 à 16:02

bonjour WilliamM007 , 2 distances equivalentes ne sont-elles pas uniformement et topologiquement equivalentes alors ?

Posté par
Molotov79re : Distances topologiquement equivalentes 16-06-20 à 16:04

Ou je peux montrer qu'un ouvert de (R*+, d) est un ouvert de (R*+, delta)

Posté par
WilliamM007re : Distances topologiquement equivalentes 16-06-20 à 16:09

Citation :
bonjour WilliamM007 , 2 distances equivalentes ne sont-elles pas uniformement et topologiquement equivalentes alors ?

Si. Mais deux distances topologiquement équivalentes ne sont pas nécessairement (Lipschitz) équivalentes, ce qui est le cas ici, donc il faut raisonner autrement.

Citation :
Ou je peux montrer qu'un ouvert de (R*+, d) est un ouvert de (R*+, delta)

Et qu'un ouvert de \delta est un ouvert de d. Tu peux faire comme ça mais il y a plus simple, comme ce que je t'ai cité.

Posté par
Molotov79re : Distances topologiquement equivalentes 16-06-20 à 16:15

D'accord, mon objectif est de maitriser toutes les methodes possibles (methode de la convergence de suite dans je peux travailler sansje peux travailler sanslje peux travailler sansje peux travailler sanses 2 espaces metriques, montrer que l'application identite de R*+ est un homeomorphisme, methode des ouverts)

Comment m'y prendre avec la methode des suites ?

Posté par
WilliamM007re : Distances topologiquement equivalentes 16-06-20 à 16:18

Considère une suite (x_n)_{n\in\N} de réels strictement positifs qui converge pour d vers un certain x>0, c'est-à-dire \vert x_n-x\vert\underset{n\to+\infty}{\to}0. Montre alors qu'elle converge aussi vers x pour \delta, c'est-à-dire \left\vert\frac{1}{x_n}-\frac1x\right\vert\underset{n\to+\infty}{\to}0. Et réciproquement.

Si tu tiens absolument à la méthode des ouverts, passe plutôt par les boules. Il suffit de montrer que toute boule de d centrée en x contient une boule de \delta centrée en x, et réciproquement.

Posté par
Molotov79re : Distances topologiquement equivalentes 16-06-20 à 17:19

aie, je suis bloque , dois-je utiliser la composition des limites ?

Posté par
Molotov79limite demonstration 2 16-06-20 à 17:44

Bonjour , je voudrais de l'aide pour montrer ceci:
soit (Xn) une suite de reels strictements positif tendant vers xo non nul, montrer que (Xn) tend vers xo ssi Vn=1/Xn tend vers 1/xo

Merci

*** message déplacé ***

Posté par
Molotov79re : limite demonstration 2 16-06-20 à 17:45

Vn suite de reel strictements positifs

*** message déplacé ***

Posté par
WilliamM007re : Distances topologiquement equivalentes 16-06-20 à 17:54

Dans le cas présent la continuité de la fonction inverse suffit.

Posté par
Zormuchere : limite demonstration 2 16-06-20 à 17:54

Bonjour

En fait, il suffit de montrer l'implication directe, la réciproque viendra directement

Passe par la définition de convergence avec epsilon

*** message déplacé ***

Posté par
Molotov79re : limite demonstration 2 16-06-20 à 18:52

Bonjour Zormuche ,

(Vn) tend vers xo alors pour tout \epsilon >0 il existe un rang no d'entier naturel tel que lorsque n>no on a |Un-xo|<\epsilon
en utilisant la composition des limites on a lim en plus l'infini de Vn= lim lorsque Un tend vers plus l'infini de Vn=1/xo

est-elle juste la premiere implication ? si oui comment faire celle reciproque

*** message déplacé ***

Posté par
carpediemre : limite demonstration 2 16-06-20 à 18:52

salut

vu que x = \dfrac 1 {\dfrac 1 x} l'une quelconque des deux implications est une équivalence ...

*** message déplacé ***

Posté par
Molotov79re : limite demonstration 2 16-06-20 à 18:53

Salut carpediem, j'ai pas compris ce que tu veux dire

*** message déplacé ***

Posté par
carpediemre : limite demonstration 2 16-06-20 à 18:54

tu n'as rien fait ...

sachant que u_n --> x calculer |v_n - 1/x| =  |1/u_n - 1/x| et le majorer ...

*** message déplacé ***

Posté par
carpediemre : limite demonstration 2 16-06-20 à 19:07

ceci ne serait-il pas un aparté de [url][https://www.ilemaths.net/sujet-distances-topologiquement-equivalentes-850815.html/url] ? ... et donc du multi-post ...

*** message déplacé ***

Posté par
carpediemre : limite demonstration 2 16-06-20 à 19:07

carpediem @ 16-06-2020 à 19:07

ceci ne serait-il pas un aparté de ? ... et donc du multi-post ...


*** message déplacé ***

Posté par
Molotov79re : limite demonstration 2 16-06-20 à 19:08

multipost ? pourtant les sujets sont differents car ce n'est pas le meme exercice

*** message déplacé ***

Posté par
Molotov79re : Distances topologiquement equivalentes 16-06-20 à 19:09

Donc j'ecris par continuite de la fonction inverse on a l'equivalence ?

Posté par
carpediemre : limite demonstration 2 16-06-20 à 19:13

ben si !!! voir Distances topologiquement equivalentes

*** message déplacé ***

Posté par
carpediemre : limite demonstration 2 16-06-20 à 19:14

et il suffit de regarder les horaires des différents posts ...

*** message déplacé ***

Posté par
Molotov79re : limite demonstration 2 16-06-20 à 19:16

Ah donc le multipost ne consiste pas seulement a poster le meme exercice textuellement une deuxieme
Pardon monsieur carpediem, alors ou puis-je continuer cet exercice , dans quel post?

Je tape sur un qwerty d'ou l'absence d'accent

*** message déplacé ***

Posté par
carpediemre : limite demonstration 2 16-06-20 à 19:47

je ne comprends pas ta première phrase ...

ce post est le coeur de la démonstration de l'autre post comme l'a montré william07

*** message déplacé ***

Posté par
WilliamM007re : Distances topologiquement equivalentes 16-06-20 à 20:19

Molotov79 @ 16-06-2020 à 19:09

Donc j'ecris par continuite de la fonction inverse on a l'equivalence ?

C'est peut-être un peu rapide. Comprends-tu où la continuité intervient ? J'ai l'impression que le raisonnement ne te paraît pas encore très clair

Posté par
carpediemre : Distances topologiquement equivalentes 16-06-20 à 20:37

Molotov79 @ 16-06-2020 à 19:09

Donc j'ecris par continuite de la fonction inverse on a l'equivalence ?
WilliamM007 @ 16-06-2020 à 16:18

Considère une suite (x_n)_{n\in\N} de réels strictement positifs qui converge pour d vers un certain x>0, c'est-à-dire \vert x_n-x\vert\underset{n\to+\infty}{\to}0. Montre alors qu'elle converge aussi vers x pour \delta, c'est-à-dire \left\vert\frac{1}{x_n}-\frac1x\right\vert\underset{n\to+\infty}{\to}0. Et réciproquement.
montrer ce que propose WilliamM007 est équivalent à montrer la continuité de la fonction inverse ... ce qui se fait en terminale

il est aisé de montrer que 1/u - 1/x --> 0 quand u --> x

d(x, u) = 1/u - 1/x = (x - u)/ux

or si u --> x alors |u - x| < x/2 ... à partir d'un certain moment (je suppose x > 0)

on peut alor majorer d(x, u) ... (et même le minorer pour faire implication et réciproque d'un seul coup) ...

Posté par
malou Webmasterre : Distances topologiquement equivalentes 17-06-20 à 04:03

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?


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