Niveau Master Maths

Distribution et caractérisation

Posté par
audinaudin 15-06-23 à 15:50

Bonjour à tous, j'ai un petit exercice que je n'arrive pas à résoudre et je sollicite votre aide.

Soit $\Omega$ un ouvert de $R^n$
a) Montrer que si T est une distribution sur $\Omega$ et si (Un)n est une suite de $D(\left\Omega \right)$ qui tend vers 0, alors la suite (<T, Un>)n tend vers 0
b) Montrer la réciproque de ce résultat

Merci d'avance.

Posté par re : Distribution et caractérisation 15-06-23 à 16:32

Bonjour audinaudin.

Déjà, question 1 à se poser : que signifie que $(u_n)_n$ tend vers 0 dans $D(\Omega)$ ?

Seconde question : qu'est-ce qu'une distribution ?

Tertio : faire le lien entre les deux question ...

Posté par re : Distribution et caractérisation 15-06-23 à 22:30

$\((u_n)$ tend vers 0 dans $D(\Omega)$ si :

1) Il existe K compact de $\Omega$ tel que $supp\(u_n$ $\subset$ K pour tout n.

2) Pour tout multi-indice $\alpha$ dans $N^n$ , $D^\alpha$ $\(u_n$ tend vers 0 uniformément lorsque n tend vers l'infini.

Une distribution sur $\Omega$ est une forme linéaire continue sur l'espace vectoriel topologique $D(\Omega)$

Et puis je ne vois pas trop comment agencer convenablement ces hypothèses pour résoudre l'exercice.

Posté par re : Distribution et caractérisation 16-06-23 à 00:56

Le sens suivant est assez facile :

$[T \in D'(\Omega)$ et $(u_n)_n$ tend vers 0 dans $D(\Omega) \Rightarrow [T(u_n) \rightarrow 0$ dans $\R]$

Si X est un compact de $\Omega$ , on désigne par $D_X(\Omega)$ l'ensemble des fonctions à support dans X. Tout élément de $D_X(\Omega)$ est alors à support compact.

Par définition, $D(\Omega) = \bigcup_{X \text{ compact }\subset \Omega}D_X(\Omega)$

Et toujours par définition, une forme linéaire sur $D(\Omega)$ sera continue si et seulement si sa restriction à tous les $D_X(\Omega)$ est continue.

Comme tu l'as rappelé, $(u_n)_n$ tend vers 0 dans $D(\Omega)$ signifie qu'il existe un compact fixe $K$ qui soit support commun des $u_n$ et dans lequel la suite et les suites de toutes ses dérivées convergent uniformément vers l'élément $0 \in D(\Omega)$ .

Il s'ensuit que la restriction de T à $D_K(\Omega)$ est continue, donc elle est continue en 0. Donc séquentiellement continue en 0.

(La difficulté ici est en fait de préciser ce que sont les voisinages de 0 dans $D(\Omega)$ )