Bonjour Sylvieg,

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Je suppose que les distances d et e sont des entiers en mm ?

Bonjour lake,
Non, c'est ce qui est amusant

salut

soit m et n le nombre de marguerites sur la "longueur" et la "largeur"

soit x et y l'écartement des marguerites sur la "longueur" et la "largeur"

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ces variables doivent donc vérifier :

md + (m - 1)x = 770
nd + (n - 1)y = 462


le nombre minimal de fleurs est 4 : une à chaque coin (1)

si l'espacement est identique sur tous les côtés alors x = y et ma réponse (1) est évidemment fausse

Bonjour carpediem,

alors mes équations deviennent donc :

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md + (m - 1)e = 770
nd + (n - 1)e = 462

D'accord pour le minimum de lake

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Il y a 4 coins ; donc le minimum est supérieur ou égal à 4.
Le nombre total de fleurs est pair ; on essaye avec 6, et ça marche !

ben d est un paramètre : c'est une donnée (inconnue certes) de l'énoncé

par contre m et n sont les variables

exemple :

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supposons qu'on ne mette pas de fleurs sur la largeur (hormis les coins)
et puisque l'écartement est constant sur tous les côtés on a la relation :

e = 462 - 2d
md + (m - 1)e = 770



m est évidemment "petit" et même 462m < 1232 => m < 2,7

et puisque m > 1 alors m = 2

puis on regarde ...

J'ai un peu travaillé les équations de carpediem et pour moi d et e sont des inconnues, m et n étant des variables. Ainsi on a deux équations pour deux inconnues et le système est résolvable :

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En réorganisant les équations on peut extraire et



Je laisse au lecteur la démonstration que le dénominateur est nécessairement positif si .
Les deux variables et sont des réels positifs, les numérateurs doivent donc être positifs.




Finalement,



On peut se convaincre en remplaçant dans l'équation précédente par successivement , et que existe toujours et est unique (égal ).



La solution pour n=1 est m=1 ce qui contredit la contrainte et donc la solution avec le moins de fleurs est .

Tous les donnent une solution unique.

C'est LittleFox qui s'approche le mieux des solutions générales.

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Les expressions de e et d sont exactes.
Effectivement les dénominateurs sont positifs.
e est du signe de 5n-3m alors que d est du signe de 2-(5n-3m).
On peut en déduire un nombre fini de valeurs possibles pour l'entier 5n-3m , puis les formes générales des couples d'entiers (m,n) .

Salut Sylvieg

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Est-ce que cette forme générale te conviendrait?
Toutes les solutions (m,n) sont de la forme (5x,3x), (5x+1,3x+1) ou (5x+3,3x+2). Et pour tout x >= 0, ces formes sont solution excepté (0,0) et (1,1). (x )

bon j'étais un peu au jardin ...

Sylvieg : tu n'as rien dit sur mon post de 14h10


on peut remarquer que :

2d < 462 <=> d < 231

2 n m

enfin il est raisonnable de se dire qu'il faut trouver des contraintes sur m et n parce qu'il ont déjà une contrainte forte : être entier

au contraire de d et e qui sont des réels sans contrainte "forte"

il fallait donc effectivement faire les "bonnes" combinaisons linéaires sur les deux équations que j'ai données ...

Il y avait des marguerites ?
En fait je n'ai pas compris le début de ton message blanké :

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e = 462-2d

ben pour la largeur il y a au minimum deux fleurs (au coin) et si on veut une solution minimale on essaie avec n = 2 ...

donc l'écart est e = 462 - 2d qui est d'ailleurs l'écart maximal en fonction de d ...

D'accord, je n'avais pas compris qu'il s'agissait de la recherche du minimum.
Pour le minimum, voir ma réponse de 13h39.
Pour la forme générale des possibilités, c'est une autre paire de manches.

@lake,
J'ai cherché les solutions avec d et e entiers en mm.
J'en trouve 24 (pas des fleurs, mais des solutions !)
Pour les trouver, j'ai cherché parmi l'infinité des solutions sans condition sur les distances d et e .
Peut-on trouver une méthode plus directe ?

Bonsoir,
une tentative de solution

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Je prend comme unité de longueur 154mm. Les côtés du rectangle sont ainsi 5 et 3.

Soit m ( rep. n ) le nombre d'espace dans la longueur ( resp. la largeur ).
Dans l'image de départ on a m=5 et n=3.
Le nombre de fleurs est 2(m+n).

Les entiers m et n étant donnés les nombres d et e sont solutions de :



En le résolvant on trouve, si



Ainsi en donnant deux entiers distincts on trouve une valeur pour d et e.

On peut alors s'intéresser à celles qui on un sens dans le cadre du problème de départ.
Il me semble que l'on doit avoir
**  m>n
**  d>0 car je ne vois pas le sens d'un diamètre négatif, un diamètre nul correspondant à une décoration invisible
**  e0 mais c'est plus discutable, un espacement négatif pouvant correspondre à un chevauchement des motifs.

De ces conditions on déduit
                                                
Il y a alors beaucoup moins de couples (m,n) possibles.

En fait on peut les mettre dans deux listes dépendant d'un entier naturel k

si d et e sont entiers alors d et e sont entiers ! ce qui doit permettre d'utiliser l'arithmétique efficacement ....

toujours avec mes notations :

m, n, d et e entiers
md + (m - 1)e = 770
nd + (n - 1)e = 462

par soustraction : (m - n)(d - e) = 308 = 4 * 7 * 11


cette égalité montre de plus que m - n et d - e ont même signe
or m >= n ...

de plus 308 <> 0 => m <> n et d <> e donc m > n => d > e

...

désolé ... grosse con...

(m - n)(d + e) = 308 = 4 * 7 * 11

...

@verdurin,
J'ai fait exprès, dans mon message précédent, de parler des distances d et e

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C'est vrai que le 154 encombre inutilement. Bonne idée de s'en débarrasser.
J'ai choisi les mêmes inconnues que carpediem, i.e. le nombre de fleurs sur chaque côté au lieu du nombre d'espaces.
Ça revient à ajouter 1 à tes valeurs de m et n .
A la fin, à partir de mes expressions de d et e , je tombe sur 0 5n'-3m' < 2 qui correspond à 0 3m-5n < 2 avec tes m et n .
Je n'ai pas isolé m ou n , mais résolu 5n'-3m' = 0 puis 5n'-3m' = 1 avec m' et n' entiers.

Voir aussi les réponses de LittleFox.

une dernière remarque : quelle que soit la nature de d et e on constate que de l'équation (m - n)(d + e) = 308 on déduit que d + e est entier ... puisque m - n l'est ...

J'ai un peu de mal à déduire de 13x=308 que x est un entier.

bon je la remets dans ma culotte  ...

faut dire que je suivais le match de ces bons à rien mauvais en tout de français ... que j'en suis devenu un ... _{^{dans le sens où on attend tellement plus mieux bien d'eux ...}}

désolé ...

Well . . .  nobody's perfect

Bonjour. Si on enlève le carré 462x462 il reste 308x462. Pour avoir une marguerite dans les angles "il reste" le rectangle (308 - e) x 462. En réitérant l'opération il reste le rectangle (308 - e) x 154. D'où la réponse minimum e=154 d'où d=154.

En nombres entiers je ne trouve pas d'autres solutions.

Bonjour,
Je ne vais plus être disponible pendant trois jours.
Ce sujet m'a été inspiré par celui-ci : Exercice d'application arithmetique

@derny,
Intéressant la méthode d'enlever des carrés. Mais il faut s'assurer que les dimensions restent positives.
Je n'ai pas le temps d'approfondir.
Pour le nombre de solutions, voir mon message d'hier à15h56.
Pour des exemples avec diamètre et espace entiers en millimètres, voir le sujet signalé ci-dessus.

Sylvieg, quand tu rentreras (de vacances ?) j'aimerais connaître tes 24 solutions ...

Bonjour,

Sylvieg a fait un pont entre "détente" et "collège" car ce genre d'exercice le mérite.
Les solutions purement arithmétiques partent des diviseurs communs de 770 et 462.
1 (bof) 2   7  11 14  22  77 154
Dans ce cas les marguerites (cercles ou carrés)  sont sans espace.
On notera aussi que nous ne gardons que des nombres entiers....et que nous
ne parlons que d'espaces parallèles aux cotés (pas de diagonales).

770x462  385x231 110x66  70x42  55x33   35x21  10x6  5x3 avec pour "diamètre" le diviseur.

Dans ces nombres en divisant par 2 les impairs et en arrondissant au dessus on peut
trouver des cas à espaces égaux au diamètre:
193 x116  diam et esp 2mm
28x17        diam et esp  14 mm
18 x11       diam et esp   22mm
3x2             diam et esp    154 mm
Pour aller plus loin on remarque que  les nombres en longueur  et les
nombres  en largeur sont dans un rapport compris entre 1.5 et 1.66 (5/3)
On peut bâtir un tableau des cas possibles en posant:
N-->n  tel que  N/1.5=n entier ou Nx3/5 =n entier (on arrondit les résultats ):
exemple  21 x13
ensuite on pose 21d+20e=770  et 13d+12e=462
on aura 8(d+e) =308 comme 308 n'est pas multiple de 8 on élimine...
en faisant varier e ,je n'ai rien trouvé d'autre.

J'en suis donc  à  8+4 =12  cas ;vivement la réponse de sylvieg

Salut dpi.
Je trouve la même réponse que toi pour les solutions où d et e sont des entiers ( en mm).

On peut en trouver plus si on autorise une superposition partielle des motifs.
Par exemple en mettant deux fleurs avec d=462 et e=-154

Bonjour à tous

Je n'ai pas suivi les échanges ni levé les caches , je suis donc sûrement un peu à côté de la plaque

Avec les données initiales je compte 990 configurations possibles . Il y en a beaucoup moins si on s'occupe uniquement du nombre de disques sans s'intéresser à leur répartitions sur les côtés du rectangle .

Imod

Bonjour. Avec les données initiales (770x462) je voudrais voir les 24 ou 990 (quelques unes des 990) solutions …
J'annule évidemment la dernière phrase de mon message du 22 à 10h04.

Un bon point de départ est de remarquer que d+e est un diviseur du périmètre du rectangle , après c'est du calcul bête .

Imod

Salut Imod, je suis content de te relire ici.

Je n'ai pas compris le problème comme toi, mais, pour les solutions où d et e sont en nombres entier de millimètres si il est évident que d+e doit être un diviseur du périmètre, il me semble également évident que ce n'est pas suffisant.

Oui Verdurin , ce n'est pas suffisant mais le calcul est facile

Après lecture du fil, il me semble que d et e ne sont pas supposés entiers dès la première réponse de Sylvieg .

Imod

Bonjour à vous trois,
Comme l'exercice de départ était proposé en troisième (pgcd) j'ai continué
dans l'esprit de dimensions entières en mm.
A  noter que le cas des diagonales n'a jamais été évoqué ce qui compliquerait
la chose....

En fait j'étais complètement parti en vrille sur ce problème

Il y a clairement une infinité de solutions si on laisse d et e libres .

On a 4 solutions entières avec s = 2 ; 14 ; 22 et 154  correspondants à k = 0  ; 3  ; 5 et 38 .

Il y en a sûrement d'autres ????

Imod

Bonjour,

D'où les 8 solutions ( d ,m , n )

Je n'ai fait que répéter ce que dpi avait déjà détaillé le 23 vers 9h.

Bonjour
Vous êtes plusieurs comme Imod à dire "Il y a clairement une infinité de solutions si on laisse d et e libres" …
Peut-on m'en citer quelques une ?

Bonsoir derny.
Avec m et n définis par Sylvieg, toutes les solutions sont de la forme :



où k est un entier naturel quelconque.

Pour le cas général,
Je trouve bien d = 154/(k+1) avec e = 0 et d = 154/(2k+1) avec e =d .
Mais je ne trouve pas les mêmes m et n que verdurin .

1er cas avec e = 0 : m = 5(k+1) et n = 3(k+1) .

2nd cas avec e = d : m = 5k+3 et n = 3k+2 .

Dans le 1er cas, on a bien md = 5154 et nd = 3154 .

Dans le 2nd cas, on a bien md+(m-1)e = (2m-1)d = 5(2k+1)d = 5154 .
Et nd+(n-1)e = (2n-1)d = 3(2k+1)d = 3154 .

Rappel : m pour le nombre de fleurs sur chaque longueur et n pour le nombre de fleurs sur chaque largeur.
Dans mon dessin du 1er message, m = 6 et n = 4

Dans son message du 21 à 17h28, verdurin avait choisi de compter les espaces.

En fait je n'ai pas détaillé ma réponse mais elle donne toutes les solutions ( une infinité ) , j'avais implicitement supposé que l'espace entre les marguerites était non nul ( sinon c'était trop simple ) .

Ensuite on recouvre le bord du cadre avec des "dominos" de côtés a et s<a ( un "domino" est un rectangle encadrant le disque et l'espace qui le suit ) . Dans la longueur on met m "dominos" horizontaux plus 1 vertical . Dans la largeur on met n "dominos" verticaux plus 1 horizontal . On arrive alors à 462-na=770-ma et (m-n)a=308=4X7X11 .  Après il faut tester les différents m-n et remarquer seules certaines valeurs très particulières de m et n fournissent des solutions .

Désolé de ne pas avoir le temps de détailler un peu plus

Imod

PS : joli problème même si on espérait un nombre fini de solutions

Bonsoir,
j'avais choisi de compter les espaces parce qu'il a autant d'espaces que de fleurs.

On peut regarder les dessins donnés par Imod pour le voir.

Bonsoir.
Merci pour vos réponses. C'est vrai que je ne suis pas beaucoup investi dans ce problème mais à vous lire rapidement je vois qu'on a toujours d = e (entiers ou non). Est-ce toujours le cas ?
verdurin, dans ton message de 17h07, pour d=e=154/(2k+1), m et n ne représentent pas les nombres d'espaces mais les nombres d'espaces moins 1.

Exemples k=1, d=e=154/3 soit (8d+7e)x(5d+4e) alors que m=6 et n=3.

Pour k=2, d=e=154/5 soit (13d+12e)x(8d+7e) alors que m=11 et n=6

Bonjour,
@derny : On n'a pas toujours d=e ; on peut aussi avoir e=0 .
C'est ce résultat très simple qui m'a motivée pour créer ce sujet.
Je trouvais ma démonstration laborieuse et me demandais si je ne passais pas à côté de quelque chose d'élémentaire. Vu vos réactions, je n'ai plus cette impression.
Je blanke les étapes principales de la démonstration.
Rappel : m pour le nombre de fleurs sur chaque longueur et n pour le nombre de fleurs sur chaque largeur.
Dans mon dessin du 1er message, m = 6 et n = 4

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A partir des 2 équations
m d + (m-1) e = 5154
n d + (n-1) e = 3154

On trouve et

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e0 et d > 0 ; donc 0 5n-3m < 2 .

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Or 5n-3m est un entier ; donc 5n-3m = 0 ou 5n-3m = 1 .
Ce qui donne bien e = 0 ou e = d

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Avec 5n-3m = 0 on a m = 5(k+1) et n = 3(k+1) . On a alors d = 154/(k+1) .

Avec 5n-3m = 1 , de solution particulière (3,2), on a m = 5k+3 et n = 3k+2 .
On a alors d = e = 154/(2k+1) .

On peut retrouver les 12 cas (8+4) avec d et e entiers.

Bonjour Sylvieg,

merci pour ce joli problème.
Je suis tout-à-fait d'accord avec ta démonstration.

Si on se limite aux solutions avec d et e entiers j'ai trouvé une méthode plus rapide.
C'est ta remarque du 25-06-18 à 17:08 qui me l'a fait trouver:
"si d et e entiers, alors d+e divise qui admet 12 diviseurs".

Cela se généralise sans difficultés à un rectangle de côtés entiers et avec .
Le nombre de solutions avec et entiers est égal au nombre de diviseurs de .

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Les équations et entraînent donc est un diviseur de .
Réciproquement, pour chaque diviseur de , entraîne d'où et donc .
De même, .
Il y a donc exactement une solution pour chaque diviseur de .