salut
montrons que k[n+m+1]/2 est un entier naturel c'est a
dire montrons que k est pair ou n+m+1 est pair.
1 er cas : n-m est pair
donc n-m est divisible par 2 il existe p entier 2*p=n-m
or n-m=ak
donc ak=2*p 2 est premier avec a (a impair) d'ou d'apres lemme de gauss 2 divise k d'ou k pair
2 eme cas : n-m est impair.
deux possibilites n pair alors m impair
n impair alors m pair
si n pair et m impair n+m impair et donc n+m+1 pair
meme chose pour le dernier sous cas (n et m ont des
roles symetriques)

d'ou k(n+m+1)/2 est un entier naturel.

Sm=(m(m+1)) / 2
Sn=(n(n+1)) / 2

Sn - Sm = [(n(n+1)) - (m(m+1))]/2
Sn - Sm = (n²+n-m²-m)/2
Sn - Sm = (n²-m²+n-m)/2
Sn - Sm = [(n-m)(n+m)+(n-m)]/2
Sn - Sm = [(n-m)(n+m+1)]/2   (1)


n - m est impair par hypothèse.
Cela impose que l'un des nombres n ou m soit pair et l'autre impair.
-> n + m est forcément impair.
et donc n+m+1 est pair.

Donc (n+m+1)/2 est un nombre entier, soit P ce nombre entier   (2)

Par hypothèse, on a n-m = ka  (k entier)   (3)

(1), (2) et (3)
->
Sn - Sm = kPa et comme k et P sont entiers, Sn - Sm est divisible par a.
-----
Sauf distraction  

Attention, j'ai dit une bêtise.

(n - m) n'est pas impair par hypothèse.
Il faut donc aussi traiter le cas (n-m) pair.

Je ne comprend pas pourquoi n-m est impair. On a seuleument n-m divisible par un nombre impair, mais ca ne m'indique pas que n-m impair.

Ah ok, là je suis d'accord, mais je ne sais pas traiter ce cas, je ne connais pas le lemme de Gauss, ou pas sous ce nom en tout cas.
Je suis éléve de Term S et ces questions sortent du programme de Spé Maths.

Je suis donc en difficulté pour traiter le cas ou n-m pair.

En fait je comprend ce lemme, et la solution me parait plus clair maintenant, je vous remercie. D'autre part, je bloque sur une derniere question. Je vous la donne,

Quels sont les nombres qui peuvent s'obtenir comme restes de la division de nombres de la fomre Sm par 11.
Voilà mon dernier pb, mci de m'aider une fois de plus.

montre nous la totalite de l'exo, svp.

Si m est un nombre entier positif, on désigne par Sm la somme de tous les entiers de 1 à m, soit Sm = (m(m+1))/2

Soit a un entier impair
a) montrer que si m et n sont des entiers tels que n-m soit divisible par a, Sn-Sm est divisible par a

b)Quls sont les nombres qi peuvent s'obtenir comme restes de la division de nombres de la frme Sm par 11?

Voilà, svp aidez moi pour la b), je suis vraiment de chez vraiment coincé.

au lieu de qi n'est ce pas Si ? (le q est pres du s
sur le clavier)

si 11 | m-n   =>  11 |  Sm-Sn

si m=n[11] alors Sm=Sn[11]

donc les nombres Si recherches sont ceux tels que
m-i divisible par 11.

pour m=13  S13=91   i=2,i=13,i=24.... d'ou S2=3,S13=91,S24=300...

Non, c'est bien qui, mais j'ai fait des fautes de frappe sur la question b)
En gros, on cherches tout les restes possibles pour la division euclidienne de Sm par 11.

il suffit de calculer Sn pour n allant de 0 à 11

puis de faire la division euclidienne de ces nombres
par 11

S0=0
S1=1
S2=3
S3=6
S4=10
S5=15    ->   4
S6=21    ->   10
S7=28    ->   6
S8=36    ->   3
S9=45    ->   1
S10=55   ->   0
S11=66   ->   0

solution 0,1,3,4,6,10

a toi de voir...