Bonjour .jai besoin d'aide. Determiner les entiers naturels a,,b,c et telsque ab divise 2(d+c) et cd divise (a+b)

Jai essaye ceux ci .2(a+b)=kcd et 2(d+c)=k'ab

Bonjour

remarque : si m divise n alors m ≤ n !
on en déduit que chacun des a,b,c,d est ≤ une certaine valeur maxi
donc au pire on peut les essayer tous par un programme qui va effectuer ces "quelques" essais en un rien de temps.
... si on n'a pas d'autres idées plus "propres" sur la question.

vu que l'examen des solutions ne semble pas dégager une règle particulièrement visible, peut être même que c'est la seule méthode
des améliorations viendront uniquement sur les critères de choix pour éviter de donner plusieurs fois la même solution, sinon il faudrait faire le tri à la main.
(que (a,b,c,d) et (b,a,c,d) sont la même solution et la même que (c,d,a,b) etc)

optimiser en diminuant le nombre de boucles n'est pas franchement d'actualité avec ce tout petit facteur 2
donc un problème d'algorithmique

Bonjour,
Peut-être utiliser les exposants de 2 dans les décompositions en facteurs premiers des entiers a ,b ,c ,d ?

pourquoi pas. mais ça ne va pas aller bien loin

bonjour,
on pose a=a'+2   b=b'+2   c=c'+2  d=d'+2
puis
on suppose  a+bc+d
puis hypothèse sur k' et a'b'
2(d+c)=k'ab
étudier les quelques cas restants.

je ne vois vraiment pas où tu veux en venir avec ton changement de variable
(vu que (1,1,1,1) est une solution, et bien d'autres solutions avec a = 1, et qu'alors a' = -1)

et les "quelques" en fait tout de même un bon paquet !!
(j'ai recensé 28 solutions, par contre ma borne supérieure "simple" était trop restrictive et oubliait quelques solutions, il y a à retravailler sur cette majoration de a,b,c,d)

On suppose a+bc+d  et ab  et cd (on trouvera les autres solutions par permutations)

1) si a,b,c,d >2
on pose
a=a'+2    b=b'+2    c=c'+2    d=d'+2

a*b divise 2*(c+d)
2*(c+d)=k'*a*b
2*(c'+2+d'+2)=k'*(a'+2)*(b'+2)
2*(c'+d'+4)=k'*(a'*b'+2*a'+2*b'+4)
2*[(c'+d')-k'*(a'+b')]=k'*a'*b'+k'*4-8
si k'>1 impossible
car alors
2*[(c'+d')-k'*(a'+b')]<0  et k'*a'*b'+k'*4-8>0

k'=1
2*[(c'+d')-k'*(a'+b')]0
donc  0>=a'*b'-4
donc a'*b'<=4
…
2)
a,b,c,d<=2
...


cela limite sérieusement le nombre cas

oups!
le 2)
c'est d2  et  encore beaucoup de possibilités pour a,b,c

les seules solutions avec a,b,c,d > 2 (tous, strictement) sont
a=6, b=3, c=6, d=3 18|18 18|18
a=4, b=4, c=4, d=4 16|16 16|16
on a bien effectivement les facteurs "k" = 1
et a'b' ≤ 4

le contraire de cette condition n'est pas d ≤ 2
mais plutôt b ≤ 2
comme le montre le contre exemple a=9, b=1, c=5, d=4 (9|18 et 20|20)

ceci dit le demandeur n'est pas très actif là dedans
on évitera de tout lui faire ...

oui mathafou
2)
a2 ou b2 ou c2 ou d2
donc
b2 ou  d2

et pourtant Taf88 est toujours sur le site vu qu'il vient de pondre un autre exo ...

Bonjour,

Citation :
a2 ou b2 ou c2 ou d2
donc
b2 ou d2

Bonjour,
???
deux cas :
1) ou bien a,b,c,d tous supérieurs à 2 strictement : donc (4,4,4,4) et (6,3,6,3) !
2) ou bien l'un au moins est ≤ 2 (à savoir b ou d) : les 26 autres solutions, 27 si on compte (0,0,0,0)