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Niveau Maths sup
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Diviseur premier

Posté par Profil Ramanujan 07-04-20 à 07:19

Bonjour,

Je ne vois pas comment procéder.

Le nombre p est un diviseur premier de 2^{21}-1 si :
A/ p=2
B/ p=3
C/ p=7
D/ p=11

Le nombre p est un diviseur premier de 2^{21}-1 si :
A/ p=113
B/ p=127
C/ p=131
D/ p=137

Le nombre p est un diviseur premier de 3^{12}-1 si :
A/ p=3
B/ p=5
C/ p=7
D/ p=11

Posté par
mokassin
re : Diviseur premier 07-04-20 à 08:08

Bonjour,
Par le petit théorème de Fermat, ou celui de Lagrange, ca revient au meme.

Posté par Profil Ramanujanre : Diviseur premier 07-04-20 à 08:53

Merci.

Si p est premier on a n^p \equiv n[p]

2^{21}=2^{7 \times 3} \equiv 1[7] donc la réponse est p=7

Mais je n'arrive pas à faire le deuxième.

Posté par
lionel52
re : Diviseur premier 07-04-20 à 08:56

Ah la la le niveau terminale on y est pas encore je pensais que c'etait trop facile pour toi et que tu ty ennuyais...

2^7 = ...?

Posté par
carpediem
re : Diviseur premier 07-04-20 à 08:57

salut

il serait bien de savoir que a^n - b^n se factorise toujours (démonstration simple avec les suites géométriques) ...

Posté par Profil Ramanujanre : Diviseur premier 07-04-20 à 09:18

Ça provient d'un concours ENAC Pilotes, ce n'est pas niveau terminale mais le niveau des questions est pas ouf.
Je dirais c'est du niveau CAPES.

Bon au pire je teste tous les cas :
2^7=128 \equiv 15[113] puis 2^{21} \equiv -5[113] donc 2^{21}-1 \equiv -6 [113]
En utilisant cette technique on trouve que seul 127 marche.

Le suivant idem on travail modulo et la réponse est 5 et 7.

Posté par
lionel52
re : Diviseur premier 07-04-20 à 09:22

Non mais cette question a beau venir du concours de l'enac ça ne veut pas dire qu'elle n'est pas niveau terminale.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Diviseur premier 07-04-20 à 09:47

Bonjour,
Si p est premier et n supérieur ou égal à 2 et non divisible par p
alors np-1-1 est divisible par p.
Autrement dit \; np-1 1 \; [p] .

A partir de là, on peut tout trouver.
C'était le b-a b-a de l'arithmétique en spé maths de TS il y a 10 ans.

Posté par Profil Ramanujanre : Diviseur premier 07-04-20 à 10:08

Oui et aussi prouver que 113, 127, 131 et 137 sont premiers.

Dans mon bouquin, les exercices d'arithmétiques étaient réellement difficiles et aucun n'utilisait Fermat.
C'était plutôt du dénombrement de diviseurs en utilisant S(n)

Posté par
XZ19
re : Diviseur premier 07-04-20 à 10:42

Ramanujan @ 07-04-2020 à 09:18


2^7=128 \equiv 15[113] puis 2^{21} \equiv -5[113] donc 2^{21}-1 \equiv -6 [113]


Faux !    Le niveau terminale est trop facile pour toi?  

Posté par Profil Ramanujanre : Diviseur premier 07-04-20 à 10:47

Oui une coquille 128 \equiv 2[113] car 113 \times 2=126

Donc  2^{21} \equiv 2^3 \equiv 8 [113] donc 2^{21}-1 \equiv 7[113]

Posté par
matheuxmatou
re : Diviseur premier 07-04-20 à 10:50

m'étonnerait que 113 x 2 = 126

Posté par
XZ19
re : Diviseur premier 07-04-20 à 10:52

Archi Faux  

Posté par
XZ19
re : Diviseur premier 07-04-20 à 11:00

Le calcul mental n'est plus au programme de la terminale.

Posté par Profil Ramanujanre : Diviseur premier 07-04-20 à 11:01

J'ai dit n'importe quoi 128-113=15

Donc 128 \equiv 15 [113]

15^3=3375 \equiv 98 [113] \equiv -15 [113]

Donc 2^{21}-1 \equiv 16 [113]

Posté par
XZ19
re : Diviseur premier 07-04-20 à 11:10

Ramanujan @ 07-04-2020 à 11:01

J'ai dit n'importe quoi


Comme d'habitude.  Et ça continue. Toujours archi faux?

  Tu es prof de physique? Tu raconte des bobards peut être.

Posté par Profil Ramanujanre : Diviseur premier 07-04-20 à 12:31

La fatigue, j'essaie de profiter du confinement pour avancer pour le CAPES. J'aimerais faire le chapitre sur les matrices avant de me présenter au concours.
Le chapitre sur les déterminants a l'air ultra costaud, je le sens pas.
Je travailler la décomposition en algèbre linéaire projecteur symétrie et ça me fait des noeuds au cerveau.

Posté par
lafol Moderateur
re : Diviseur premier 07-04-20 à 14:28

mais à part ça il est une flèche en calcul ....

Posté par
lafol Moderateur
re : Diviseur premier 07-04-20 à 14:48

je ne comprends pas le pourquoi de tous ces calculs : si 2^{21}\equiv 1[113] alors 2^{112}=2^{5\times 21 + 7} \equiv 2^7[113]\equiv 15[113]\neq 1[113]
contradiction avec le résultat rappelé par Sylvieg, fin de l'histoire pour p = 113
(on en revient toujours au même point : non-maîtrise des outils arithmétiques de l'école primaire et du collège, dont la division euclidienne)



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