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Diviseurs +1

Posté par
MajorBikay
09-07-19 à 19:00

Bonjour à tous, trouvé sur l'excellent site Diophante.

Il s'agit de trouver l'ensemble D des entiers n > 0 dont les "diviseurs +1" divisent n+1.

Un exemple : 15 a pour diviseurs 1, 3, 5 et 15. Les "diviseurs +1" sont donc 2, 4, 6 et 16. Ceux-ci doivent diviser 15+1 = 16.
2, 4 et 16 divisent bien 16, mais pas 6. 15 n'appartient donc pas à l'ensemble D.

Espérant vous divertir

Posté par
carpediem
re : Diviseurs +1 09-07-19 à 19:43

salut

 Cliquez pour afficher


et pour l'instant je ne vois pas plus ...  

Posté par
MajorBikay
re : Diviseurs +1 09-07-19 à 20:03

Bonjour Carpe Diem (beau programme ),
excellent début. Mais la fin ne permet pas de trouver explicitement la solution (ou j'ai mal compris). En tout cas, la voie est bonne

Posté par
carpediem
re : Diviseurs +1 09-07-19 à 20:19

oui je n'avais pas le temps ... mais je vais y revenir après avoir réfléchi

Posté par
jarod128
re : Diviseurs +1 10-07-19 à 00:32

Bonjour et merci d'animer.

 Cliquez pour afficher

Posté par
dpi
re : Diviseurs +1 10-07-19 à 08:56

Bonjour,

 Cliquez pour afficher

Posté par
flight
re : Diviseurs +1 10-07-19 à 09:58

salut

au mieux faire ca avec un algo de son choix  car il peut y avoir une infinité de réponses possibles , entre 0 et 100  voila ce que j'obtiens  ( fais sous vba  )
Sub diviseurs()

Citation :
Dim s() As Variant
For i = 1 To 100

c = ""
n = 0
For j = 1 To i
  If i Mod j = 0 Then
   ReDim Preserve s(0 To n)
     s(n) = j 'tableau des diviseurs de i
     c = c & " " & s(n)
     n = n + 1
  End If
Next
p = 0
For k = 0 To UBound(s)
  If (i + 1) Mod (s(k) + 1) = 0 Then
   p = p + 1
  End If
Next
If p = UBound(s) + 1 Then
w = w & " " & i
End If
Erase s
p = 0
Next
MsgBox w


End Sub


ce qui retourne la liste suivante :
1,3,5,7,11,13,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,97

Posté par
flight
re : Diviseurs +1 10-07-19 à 10:00

effectivement c'est une belle liste de nombres premiers

Posté par
jarod128
re : Diviseurs +1 10-07-19 à 12:05

A la lecture des autres réponses je me rends compte que j'ai oublié 1 dans ma demonstration. 🤔

Posté par
carpediem
re : Diviseurs +1 10-07-19 à 14:10

 Cliquez pour afficher

Posté par
Imod
re : Diviseurs +1 10-07-19 à 17:38

@Carpediem : et 89 , t'en fais quoi ?

Imod

Posté par
jarod128
re : Diviseurs +1 10-07-19 à 19:11

@lmod
89 est premier et appartient à D. Pas de problème.???

Posté par
carpediem
re : Diviseurs +1 10-07-19 à 20:21

oui je ne vois pas où est le pb ...

je cherchais un critère / une condition / une relation de divisibilité et j'étais pas loin dès mon premier post ... mais je ne finalisais pas proprement tout bêtement ...

j'avoue que le post de jarod128 m'a débloqué immédiatement ...

Posté par
Sylvieg
re : Diviseurs +1 11-07-19 à 09:24

Bonjour,
Merci à MajorBikay pour ce beau sujet  
Mais j'arrive après la bataille  

@carpediem,

 Cliquez pour afficher

Posté par
Sylvieg
re : Diviseurs +1 11-07-19 à 09:26

Je viens de comprendre le  89  de Imod  

Posté par
carpediem
re : Diviseurs +1 11-07-19 à 12:23

et quel est le pb de 89 ?

sinon oui il y a à traiter le cas a = 1 (b = 1 s'obtient par symétrie)

mais de toute façon n = 1 * n et n est impair (voir mon premier post)

donc n + 1 est pair et n + 1 = 2 * ... et n + 1 = (n + 1) * 1

Posté par
Sylvieg
re : Diviseurs +1 11-07-19 à 15:35

Il n'y a pas à traiter le cas  a = 1  si on démarre correctement.

Sinon, si on ne pose pas les bonnes conditions au début pour  a  et  b :
Avec    89 = 189       a = 1         b=89      et ton raisonnement,
on aboutit à  2 89-1 89+1 0  . Bizarre...
  

Posté par
carpediem
re : Diviseurs +1 11-07-19 à 16:00

ben justement c'est ce qui prouve qu'il n'y a rien d'autre que les nombres premiers ...

si n est impair et n = ab où ab n'est pas le produit 1 * n (<=> n n'est pas premier <=> a et b ne sont pas les diviseurs triviaux de n) alors on aboutit à cette contradiction ... qui montre qu'il n'y a pas de solution autre que les nombres premiers impairs et 1 ...

Posté par
carpediem
re : Diviseurs +1 11-07-19 à 16:02

a + 1 divise b - 1 et b + 1 divise a - 1 est vrai quels que soient a et b ...

Posté par
Sylvieg
re : Diviseurs +1 11-07-19 à 16:11

Je n'ai pas rêvé, dans ton message du 10 à 14h10 tu as bien "démontré"

Citation :
donc a + 1 \le b - 1 \le b + 1 \le a - 1
sans préciser auparavant sur  a  et  b  autre chose que  n =ab.

Je n'ai pas vu écrit
Citation :
où ab n'est pas le produit 1 * n

Posté par
carpediem
re : Diviseurs +1 11-07-19 à 17:12

carpediem @ 09-07-2019 à 19:43

salut

blank]tout d'abord remarquer que si n est solution alors n est impair

en effet 1 divise tout entier n et donc 1 + 1 = 2 doit diviser n + 1 qui doit donc être pair et évidemment n divise n donc n + 1 divise n + 1  


on considère donc un entier n impair  que je suppose donc non premier vu le bleu suivant !!! puisque je sais qu'un premier impair est solution

au passage on constate évidemment que tout nombre premier impair est solution

si n = ab alors a + 1 et b + 1 divisent n + 1

il existe donc des entiers p et q tels que n + 1 = (a + 1)p et n + 1 = (b + 1)q

donc ab + 1 = (a + 1)p et ab + 1 = (b + 1)q

au passage on constate que p et q sont non seulement premiers avec n mais aussi avec a et b[/blank  je fais exprès de fausser les balises !!!

et pour l'instant je ne vois pas plus ...  
puis je poursuis avec la même situation
carpediem @ 10-07-2019 à 14:10

blank] n = ab   {\text {\red donc impair et non premier !!! }}
 \\ 
 \\ n + 1 = ab + 1 = (a + 1)p = (b + 1)q
 \\ 
 \\ ab + 1 = (a + 1)p \iff (a + 1)(b + 1) = (a + 1)p + a + b \iff (a + 1)(b + 1 - p) = a + b

on en déduit que a + 1 divise a + b et de même b + 1 divise a + b

donc a + 1 divise b - 1 et b + 1 divise a - 1  ici on peut supposer a <> 1 et b <> 1

donc a + 1 \le b - 1 \le b + 1 \le a - 1 mais ici a et b peuvent valoir 1

donc les solutions sont 1 et les nombres premiers impairs[/blank

Posté par
Sylvieg
re : Diviseurs +1 11-07-19 à 17:42

Il vaudrait mieux tout écrire à nouveau clairement  

Posté par
carpediem
re : Diviseurs +1 11-07-19 à 18:15

à vos ordres cheffe

tout d'abord remarquer que si n est solution alors n est impair

en effet 1 divise tout entier n et donc 1 + 1 = 2 doit diviser n + 1 qui doit donc être pair et évidemment n divise n donc n + 1 divise n + 1  

au passage on constate évidemment que tout nombre premier impair est solution

on considère donc un entier n impair et non premier vu le bleu précédent !!!

n = ab  et il existe des entiers p et q tels que n + 1 = ab + 1 = (a + 1)p = (b + 1)q

ab + 1 = (a + 1)p \iff (a + 1)(b + 1) = (a + 1)p + a + b \iff (a + 1)(b + 1 - p) = a + b

on en déduit que a + 1 divise a + b et de même b + 1 divise a + b

donc a + 1 divise b - 1 et b + 1 divise a - 1 ici on peut supposer a <> 1 et b <> 1

donc a + 1 \le b - 1 \le b + 1 \le a - 1 mais ici a et b peuvent valoir 1
                                                                                    en fait on se fout que a (ou b) vaille 1
donc les solutions sont 1 et les nombres premiers impairs


REM : cas d'un nombre premier impair n = 1 * n

alors 1 + 1 = 2 divise évidemment n + 1 qui est pair
et n + 1 divise ... n + 1

donc tous les diviseurs de n augmentés de 1 divisent n augmenté de 1

Posté par
Sylvieg
re : Diviseurs +1 11-07-19 à 18:52

Bon, c'est plus clair.
Cependant c'est amusant de constater que l'on retombe sur les problèmes de définition de premier et non premier qui sont discutés ici : Nombre premier

"on considère donc un entier n impair et non premier vu le bleu précédent !!!"
Ça peut être  l'entier 1 qui est impair et non premier...
On peut donc avoir  a=b=1 .
Et conclure  a+1 b-1 b+1 a-1  puisque "on se f... que  a  (ou  b ) vaille 1".

D'où sort le  1  dans  "donc les solutions sont 1 et les nombres premiers impairs" ?

Posté par
carpediem
re : Diviseurs +1 11-07-19 à 20:07

oui j'ai failli en faire une remarque ... mais je ne voulais pas alourdir ...

parce que le seul diviseur (positif) de 1 est 1 et 1 + 1 = 2 divise 1 + 1 = 2 ...

effectivement par contre il faut aussi exclure 1 dans le raisonnement

donc on dira comme hypothèse : un nombre impair non premier et supérieur à 3

(en fait il ne faut pas que a = b = 1)

Posté par
Sylvieg
re : Diviseurs +1 11-07-19 à 21:13

On va y arriver  

Posté par
carpediem
re : Diviseurs +1 11-07-19 à 22:29

Posté par
Sylvieg
re : Diviseurs +1 12-07-19 à 08:35

Bonjour,
Aïe la tenace ! Pour ne pas dire l'emm…  

Citation :
(en fait il ne faut pas que a = b = 1)
C'est  il ne faut pas que   a  ou  b = 1 .
Autrement dit, il faut supposer au départ  a  et  b  non égaux à  1 .
Sinon, on n'utilise pas  n  non premier ; et la contradiction  a+1 < a-1  ne peut s'obtenir.

Je crois me souvenir que les démonstrations par l'absurde ne sont pas ta tasse de thé.
Alors une tentative sans dans le message suivant.

Posté par
Sylvieg
re : Diviseurs +1 12-07-19 à 08:45

Tout entier non premier distinct de 1  a au moins un diviseur d  tel que  d+1  ne divise pas  n+1 :

 Cliquez pour afficher

Posté par
carpediem
re : Diviseurs +1 12-07-19 à 14:53

pour ta démo de 8h45 ...

ce n'est pas que la démo par l'absurde n'est pas ma tasse de thé, c'est surtout que je préfère toujours un raisonnement direct quand cela est possible (sans être pour autant trop énergivore) et c'est un exercice intellectuel de l'utiliser à bon escient ...

en fait l'histoire des 1 on s'en fout car c'est un pb de quantificateur :

l'important c'est que n est un entier impair non premier et distinct de 1 car :

1 est solution
un premier impair est solution
un pair n'est pas solution

donc on ne regarde plus que les entiers qui nous restent ...

et alors il existe au moins un diviseur distinct de 1 et n et c'est celui-là qui nous intéressera ...

et ce n'est pas parce l'absurdité est vraie pour 1 et n que les premiers impairs ne sont pas solutions !!! ils sont solutions quand bien même !!!

et on a bien 1 + 1 divise n - 1 et n + 1 divise 1 - 1 = 0

et alors cette absurdité : a + 1 < b - 1 < b + 1 < a - 1 est vrai pour 1 et n ... mais surtout pour toute autre paire de diviseurs ... et c'est cela qui posera pb pour les impairs non premiers ...

Posté par
Sylvieg
re : Diviseurs +1 12-07-19 à 15:21

Je me suis contentée de triturer l'égalité de jarod128 pour obtenir une division euclidienne :
A partir de son  n+1 = (a+1)b - (b-1) , échanger  a  et  b  puis rendre le "reste" de la division par  (b+1)  positif :
n+1  =  (b+1)a - (a-1)  =  (b+1)(a-1) + b+1 - (a-1) .

Moi aussi "je préfère toujours un raisonnement direct quand cela est possible".

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