bonjour,

Tout d'abord ATTENTION dans tes solutions tu inclus n=-1 et n=-2 ; or un entier naturel est strictement positif... Donc pour être totalement rigoureux la seule solution valable que tu as trouvée est 6... Mais le réflexe est bon...

Alors je te propose de résoudre le pb en remplacant le mot entier de ton énoncé par relatif (je ne vais pas inclure mes calculs intermédiaires, dire si pb...):

1) Etudions la fonction : f(x)= (14x+8)/(3x+5)
a)Domaine de définition Df = R - {-5/3}
b) Dérivée f'(x) = 46 / (3x+5)²
On en conlut :
f'(x) est positive sur Df => f croissante sur Df

c) Etude des limites sur Df :
lim f(x) pour x-->+/-oo = 14/3
donc f(x) admet une asymptote horizontale y₁ = 14/3

lim f(x) pour x--> -5/3^- = +oo
lim f(x) pour x--> -5/3⁺ = -oo

donc f(x) admet une asymptote verticale x₁ = -5/3

d) Recherche de l'intervalle des solutions qui répondent à notre pb
POUR UNE MEILLEURE COMPREHENSION DE CE QUI SUIT JE T'INVITE A TRACER LA FONCTION GRAPHIQUEMENT

Découpons notre étude sur les deux demi-intervalles qui composent Df soit ]-oo;-5/3[ et ]-5/3;+oo[

d-1) Etude sur ]-oo;-5/3[
On a déterminé une asymptote horizontale y =14/3 soit environ 4,66 avec la courbe de f(x) située au-dessus pour x < -5/3 (car f(x) - y >0 pour x<-5/3)
l'entier relatif le plus proche et supérieur à 4,66 est 5.
--> Pour quel x a-t-on f(x)=5 ?
résoudre (14x+8)/(3x+5) = 5, on trouve x=-17
A ce stade, on sait que:
  - f strictement croissante
  - f(x)>4.66 pour x<-5/3
  - f(-17) = 5
Donc pour x ]-oo;-17[ on a f(x) ]4,66;5[ => or il n'existe aucun relatif dans l'intervalle ]4,66;5[ donc il n'y a aucune solution dans l'intervalle ]-oo;-17[

De même, on a une asymptote verticale x=-5/3
Le relatif le plus directement inférieur à -5/3 (environ -1,66) est x=-2 : on sait qu'il n'y a pas de solutions dans l'intervalle ]-2;-5/3[ car il n'y a pas de relatifs dans cet intervalle

On peut donc conclure qu'un premier intervalle de solutions possibles est [-17;-2]

d-2) Etude sur ]-5/3;+oo[
Même raisonnement :
--> on a notre asymptote verticale x=-5/3
Le relatif le plus directement supérieur à -5/3 (environ-1,66) est x=-1 : on sait qu'il n'y a pas de solutions dans l'intervalle ]-5/3;-1[ car il n'y a pas de relatif dans cet intervalle

--> On a tjrs notre asymptote horizontale y =14/3 soit environ 4,66 avec la courbe de f(x) située au-dessous pour x > -5/3 (car f(x) - y <0 pour x>-5/3)
L'entier relatif le plus proche et inférieur à 4,66 est 4.
--> Pour quel x a-t-on f(x)=4 ?
résoudre (14x+8)/(3x+5) = 4, on trouve x=6
A ce stade, on sait que:
  - f strictement croissante
  - f(x)<4.66 pour x>-5/3
  - f(6) = 4
Donc pour x ]6;+oo[ on a f(x) ]4;4,66[ => or il n'existe aucun relatif dans l'intervalle ]4;4,66[ donc il n'y a aucune solution dans l'intervalle ]6;+oo[

On peut donc conclure que le deuxième intervalle de solutions possibles est [-1;6]

CONCLUSION :
On a deux intervalles [-17;-2] et [-1;6] pour lesquels f(x) admet des solutions d'entiers relatifs!

On peut donc faire le calcul pour tous les x entiers appartenant à nos deux intervalles [-17;-2] et [-1;6]: soit de x=-17 à x=6
AND THE WINNER ARE : S={-17; -2 ;-1 ; 6}

Mais on peut aussi faire plus rapide dans la recherche :
--> on sait que f(-17) =5 (donc déjà -17 est solution)
Cherchons x tel que f(x) =6, on trouve x = -5.5
Donc comme f strictement croissante on peut dire qu'il n'y a aucune solution dans l'intervalle ]-17;-6]

De même
--> on sait que f(6) = 4 (donc déjà 6 est solution)  
Cherchons x tel que f(x) =3, on trouve x = 7/5 soit  1,4
Donc comme f strictement croissante on peut dire qu'il n'y a aucune solution dans l'intervalle [2;6[

Ainsi on a :
x=-17 solution car f(-17)= 5
x=6 solution car f(6) = 4
et toutes autres solutions possibles sont comprises dans les intervalles [-5;-2] et [-1;1]
Maintenant on va pas chercher des poux : on cherche les valeurs de f(x) pour x entier variant de -5 à 1
et on trouve :
x=-2 solution car f(-2)= 20
x=-1 solution car f(-1)= -3

Donc on a bien S={-17; -2 ;-1 ; 6}

Voilà
A bientôt

Guille64

merci bcp
J'avais oublié -17 par erreur
Je n'utilise pas cette méthode parce qu'elle est trop longue

ah ben sympa harel... voilà toute la gratification à laquelle on a droit!
Et ben laisse moi te dire que je te pète au nez!!lol Et puis en outre pour ta gouverne, je ne vois quelle autre méthode tu peux utiliser pour être parfaitement sûr d'avoir relevé l'ensemble des solutions possibles!

Sur ce...
je vous salue bien bas

Bonne chance qd mm pour la suite : attention aux oublis par erreur

Guille64