sauf erreur le deuxième produit est nul non ?

Oui désolé ! c'est plutôt:
(k=0..n-1)(k!) divise (1i<jn)(a_j-a_i)

es tu sûr qu'il n'existe pas une condition particulière sur ces entiers ?
Car dans le cas général j'ai l'impression que c'est faux !

Ne faut-il pas que les entiers soient consécutifs ?

Bonjour,

je suppose que les entiers sont 2 à 2 distincts (sinon ca vaut 0)
Je pense être sur une bonne piste, mais j'ai pas encore tout trouvé ^^ Vraiment sympa comme exercice

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Pour n ^*,
on note K_n = _k=1..n-1(k!)
et N_n = _1i<jn(a_i-aj)

préliminaire:
On peut montrer que  _1<jn(a₁-aj) est divisible par  (n-1)!:

soit k[1,n-1].
alors, soit k divise (a₁-a₂)
       soit (a₁-a₂) mod k 0 (on appelle r₁ ce modulo)

       soit k divise (a₁-a₃)
       soit (a₁-a₃) mod k 0 (on appelle r₂ ce modulo)

et ainsi de suite jusqu'à construire r_k

Alors, comme tout les r_i non nuls, i,i' avec ii' tel que r_i=r_i'
Donc (a_i-a_i') mod k = 0, et k divise cette différence.

Pour passer à (n-1!), on remarque que si on veut diviser par tout les k [n-1], et que l'on retire à chaque fois la différence (a_i-a_i') du produit N_n, il reste toujours au moins k termes dans le produit avec un des a_i, et donc la démonstration précédente peut toujours être appliquée. Donc (n-1)! divise bien N_n (désolé je suis un peu rapide ^^ mais je peux fournir la preuve si demandée)

On a retiré en tout n-1 termes du produit pour (n-1)!, ce qui veut dire qu'il reste termes dans le produit.

Je finirais la démonstration plus tard, mais je pense que l'idée est là, et mon cerveau va cramer si je continue ^^

A Youpi

Oui c'est ce que je me disais, mais en fait ca a l'air d'être vrai^^ plutôt étonnant.

ben en fait si on les prends quelconques (mais distincts quand même) je trouve des contre exemples ...alors ?

tu peux donner ton contre exemple ? j'ai essayé au début, mais ca marchait à chaque fois :s (en essayant de faire apparaitre plein de nombres premiers) Et ma démonstration est pas très complète, c'est plus un schéma à suivre. Mais elle me semble correct quand même.

En fait non mon contre exemple est pas bon ....donc j'ai rien dit !

Bon voila la démonstration plus rigoureuse

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Notations:
Pour ,
on note
et

Problème:
Montrer que divise

Démonstration:
l'idée est de montrer que chaque facteur de divise un facteur différent de . Pour cela on procédera en 3 étapes:
-(1) démontrer que divise
-(2) démontrer que , (k)! divise (k-2) termes connus de
-(3) démontrer que divise termes de , donc que divise

(1)
Soit .
On pose une permutation de
,
soit   
soit ( qu'on appelle

Donc soit tel que et donc cqfd, soit ,
Dans ce dernier cas, comme tel que et
Donc,comme , on a
cqfd...

(2)
On a qui divise avec (1). On considère l'entier tel que . ALors il reste termes dans contenant un entier . Il est évident par récurrence qu'on peut alors appliquer (1) pour , et donc cqfd...

(3)
Le principe est le même que (2): pour , on a éliminé termes de . Il reste donc termes dans contenant un entier (car, pour que divise , nous avons éliminé termes), et donc, par récurrence, on démontre facilement qu'on peut appliquer (2) pour , et donc cqfd...

Diffenbeck >>

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Bien joué !! c'était également ma solution ...