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divisibilite

Posté par
allal 11-09-05 à 20:23

salut
soit a un nombre entier naturel
1- montrer que pour tout n entier naturel ona
a divise (a+1)^{n+1} -1
2-  montrer que pour tout n entier naturel ona
a^2divise(a+1)^{n+1} -a(n+1)-1
voila mon raisonnement pour 1/ (a+1)^{n+1} =a(a+1)^n+(a+1)^n
a divisea(a+1)^net a0modulo a
donc a+1 1 modulo a et meme pour(a+1)^n
on conclu que a divise
(a+1)^n-1
pour la 2/ peut on faire une demo par reccurence car je n' arrive pas avec la divisibilite
et merci d'avance allal

Posté par
allaldvisibilite 11-09-05 à 23:36

salut
je demande l'aide pour cette exercice et merci allal

Posté par jayce (invité)divisibilite 12-09-05 à 00:14

1)
(a+1)^{n+1}-1
lorsqu'on développe (a+1)^{n+1} on a des termes avec des puissances de a (termes en a^{n+1}, a^n, ...., a^2, a) et un terme constant: 1, annulé par le '-1' de la formule, donc on a que des multiples de a.

Si tu connais la formule donnant les coef d'un développement de (a+1)^{n+1} (Newton), tu peux t'en servir
(a+1)^n=\sum_{k=0}^n \(n\\k\).a^{n-k}.1^k
le terme constant (dans lequel a n'apparait pas) est celui en a^0 obtenu pour n=k:
\(n\\n\).a^0.1^n=1
tous les autres termes sont divisibles par a
donc (a+1)^n=fn(a)+1 ou fn(a) regroupe tous les termes factorisables par a
par conséquent
(a+1)^{n+1}-1=f(n+1)(a)



Posté par jayce (invité)pour le 2 12-09-05 à 00:23

je pense que tu peux t'en sortir avec la formule de Newton:
(a+1)^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1} \({n+1}\\k\).a^{n+1-k}.1^k
1 est le terme constant (non divisible par a) du développement de la puissance n+1 (1=\({n+1}\\k\).a^{n+1-k}.1^k pour n+1-k=0)
a(n-1) est le terme 'en a' de ce développement (a(n-1)=\({n+1}\\k\).a^{n+1-k}.1^k pour n+1-k =1)
donc (a+1)^{n+1} = f^{n+1, a^2} + a(n-1) + 1
où f^{n+1, a^2} regroupe tous les termes contenant des puissances de a > 2, et est donc factorisable par a²

Posté par
allalre : divisibilite 12-09-05 à 11:07

bonjour jayce et merci de votre idee je l'essaye maintenant a propos du raisonnement du 1/ question que pensez vous ?


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