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divisibilité

Posté par
flight 28-06-22 à 15:46

Bonjour

je vous propose le petit exercice suivant

quelle doit etre la condition à porter sur n N

pour que 7 divise 3ⁿ⁺¹ - 2 ?

Posté par re : divisibilité 28-06-22 à 16:22

Hey bonjour,

$3^{n+1}-2\equiv0 mod(7)$
$3^{n+1}-3\equiv-1 mod(7)$
$3^{n+1}-3\equiv6 mod(7)$
$3^{n+1}\equiv9 mod(7)$
$3^{n-1}\equiv1 mod(7)$

D'autre part

$3^{6}\equiv1 mod(7)$ donc $3^{6k}\equiv1 mod(7)$ pour tout k appartenant a N*.

D'ou la condition doit être n-1 = 6k => n=6k+1 k app a N*.

Cordialement

Posté par re : divisibilité 28-06-22 à 16:47

$\begin{aligned} 3^{n+1}-2 &\equiv 0 \pmod{7} \\ 3^{n+1} &\equiv 2 \pmod{7} \\ 3^{n+1} &\equiv 3^2 \pmod{7} \\ n+1 &\equiv 2 \pmod{\phi(7)} \\ n &\equiv 1 \pmod{6} \\ \end{aligned}$

Posté par re : divisibilité 30-06-22 à 10:39

Bravo pour vos réponses !

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