Bonjour

exemple : n=9
n²-1=81-1=80 qui est divisible par 4

donc cet énoncé n'est pas juste effectivement

salut



et n - 1 et n + 1 ont même parité donc il est évident que cette énoncé est faux ...

Bonsoir,
C'est n²+1 au lieu de n²-1.

Oui effectivement, merci.

Dans ce cas, àa devient faisable avec tes moyens

Soit k en entier relatif

où ; n'est jamais un multiple de 4

De même,
où .
Mais où ; n'est jamais un multiple de 4


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De façon plus directe en utilisant des congruences,
0^4 = 0 mod 4
1^4 = 1 mod 4
2^4 = 16 = 0 mod 4
3^4 = 81 = 4*20 + 1 = 1 mod 4
...
C'est cyclique, mais dans tous les cas, n^4+1 est congru soit à 1, soit à 2 modulo 4. Donc jamais à 0.

Je pense que ce que veut l'exercice, c'est que tu établisses la preuve par récurrence de "P(n) : 4 ne divise pas n^2+1"

Bonjour,
@Ulmiere,
Il s'agit de n²+1 et pas de n⁴+1.

Sinon, pour utiliser les congruences, il suffit de chercher à quoi n²+1 est congru modulo 4 selon que n est congru à 0, 1 ou 2 modulo 4.

Ah oui tu as raison, j'ai mis le 4 en exposant aussi

une récurrence ... bof bof mais pourquoi pas ...

j'écrirai plutôt :  

si n est pair c'est fini
si n est impair c'est fini

Oui, séparer en seulement deux cas, n pair et n impair est le plus simple.
Mais utiliser n²+1 sans le transformer suffit :
Si n pair alors n² est pair ; donc n²+1 est impair.
Si n est impair de la forme 2k+1, on a
n²+1 = 4k² + 4k + 2 qui n'est pas un multiple de 4.

si b est multiple de n alors a + b est multiple de n si et seulement si a est multiple de n

à appliquer avec a = (n 1)² et b = 2n (ou en permutant a et b)

OK.
etoile13 a le choix entre plusieurs démonstrations.
Mais ses réactions sont discrètes...