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Niveau terminale
Divisibilité congruence et fermat
Posté par hallow1978
Bonjour,
Je suis tombé sur cet exo qui me titille un peu notamment la question 1 :
Soit 2 entiers a et b tels que 11 divise a^2 + b^2
1) On suppose que 11 ne divise pas a. Montrer que 11 divise b.
Je ne vois pas trop..
2) Montrer que a^10 congru à -b^10 [11]
Facile
3) En déduire une contradiction. Conclure.
J'utilise le petit théorème de Fermat qui aboutit à b^10 congru à 10 [11] mais il me faudrait b congru à 10 [11] donc 11 ne divise pas b donc contradiction avec la question 1 donc 11|a et 11|b
Avez vous une idée ?
Merci !
Bonsoir,
je suppose qu'il y a une erreur dans le recopiage de l'énoncé
Citation :
1) On suppose que 11 ne divise pas a. Montrer que 11 ne divise pas b.
Je ne vois pas trop..
Je propose une correction possible.
1) On suppose que 11 ne divise pas a. Montrer que 11 ne divise pas b.
Je ne vois pas trop..
En fait l'énoncé est incohérent.
Peux-tu en donner une copie exacte.
c'est ce que je pensais aussi car :
si on sait que 11 divise a^2 + b^2
et si on suppose que l'affirmation "si 11 ne divise pas a alors 11 divise b" est vraie alors par combinaison linéaire on en déduit que 11 divise a
Oui j'ai remarqué que 11 était premier.. mais je vois pas ce que ça donnerait !
L'énoncé est comme je l'ai vu ! Je pense que le but est de démontrer l'implication : 11|a^2+b^2 => 11|a et 11|b
Et donc avec la question 1, ils font un début de démonstration par l'absurde !
Mais peut-être que la correction apportée change tout !
Et dans ce cas là, la question 3 se résout toujours avec le petit théorème de Fermat ? Mais comment ?
Bonjour,
D'où vient cet énoncé mal ficelé ?
En plus de l'erreur dans la première question, demander de conclure sans avoir annoncé au départ ce qu'on cherche à démontrer 
Et utiliser le petit théorème de Fermat alors qu'un tableau de congruence des carrés modulo 11 fait l'affaire :
Regarder x2 pour x congru à 1, 2, 3 4 ou 5 modulo 11.
La somme de deux d'entre eux ne donne jamais 0 modulo 11.