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Divisibilité dans n
Bonjour j'ai un exercice de spé maths à faire pour lundi, je l'ai commencé mais je ne sais pas si j'ai emprunté la bonne voie, car je suis bloqué.
L'énoncé : Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, l'entier (n+1)(n+2)...(2n-1)(2n)=2n
Pour l'instant en cours nous avons seulement vu la définition de la divisibilité.
J'ai commencé à trouver que l'équation équivaut à dire que (n+1)(n+2)...(2n-1)(2n)=k*2n, avec k dans Z.
Puis j'ai avancé un raisonnement par récurrence pour démontrer que pour l'entier n non nul qui vérifie l'équation du dessus, (n+2)(n+3)...(2n+1)(2n+2)=k*2n+1.
Je pars donc de l'équation (n+1)(n+2)...(2n-1)(2n)=k*2n
Puis je multiplie chaque membre par 2 pour obtenir (2n+2)(2n+4)...(4n-2)(4n)=2k*2n+1
J'ai donc 2n+1 à droite, mais je suis bloqué à ce moment de mon raisonnement...
Suis-je mal parti? Merci de votre aide 
Bonjour,
ta multiplication par 2 est complètement fausse
A*B*C*... en le multipliant par 2 ne donne pas (2A)*(2B)*(2C)*...
ce qu'il faut faire c'est écrire E(n+1) en fonction de En = (n+1)(n+2)...(2n-1)(2n)
E(n+1) = (n+2)(n+3) ... (2n-1)(2n)(2n+1)(2n+2) = E(n) multiplié et divisé par quoi ?
c'est cette écriture qui va permettre de faire fonctionner l'héritage dans la démonstration par récurrence.
oui, mais bof, c'est un raisonnement "tordu" à mon sens
Hypothèse : Pn : (n+1)(n+2)...(2n-1)(2n) = k * 2n
(2n+2)(n+2)....(2n-1)(2n) = k * 2n+1
que l'on réécrit sous la forme
(n+2)....(2n-1)(2n)(2n+2) = k * 2n+1
et que l'on compare avec E(n+1) = (n+2)....(2n-1)(2n)(2n+1)(2n+2)
pour en déduire E(n+1) = ...
et donc l'hérédité Pn+1 : ...
on peut faire le raisonnement d'hérédité de deux façons
écrire Pn
modification de Pn
...
Pn+1
et il s'agit de deviner la chaine d'implication
ou bien écrire de façon naturelle directement dans l'autre sens comme je le proposais, à partir de ce qu'on cherche à obtenir, et qui nécessite bien moins de divination.
tordu ou pas c'est surtout un raisonnement faux ... et qui montre que tu n'as pas compris ce qu'était l'entier au départ ....
merci mathafou pour votre réponse j'essayerai demain matin. et non carpediem je ne suis pas sûr d'avoir compris l'entier mais pour moi il semble que c'est le produit d'un entier + 1 par l'entier + 2 et ainsi de suite jusqu'à arriver au double de l'entier de base ...
comme l'a écrit matahfou
un = (n + 1)(n + 2)(n + 3)...(2n - 2)(2n - 1)2n
un + 1 = (n + 1 + 1)(n + 1 + 2) (n + 1 + 3)....(2(n + 1) - 2)(2(n + 1) - 1)2(n + 1)
carpedielm tu es un peu méchant,
tordu ou pas c'est surtout un raisonnement faux ...
la méthode est correcte puisque avec mes éléments en rouge et en bleu on voit que c'est finalement le même calcul !!!
il y a deux façons d'obtenir l'hérédité dans un raisonnement par récurrence
on part de Un = f(n)
on modifie cette égalité là pour par une chaine d'implications "devinées" mais justes et rigoureuse, faire apparaitre le Un+1 = une expression de Un et de f(n)
ici ça commence par :
Un = (n+1)(n+2) ... (2n-1)(2n) = f(n) = k*2n hypothèse de récurrence Pn
implication :
2Un = (2n+2)(n+2) ... (2n-1)(2n) = 2*f(n) = k*2n+1 parfaitement juste
qui est exactement la même chose que
2Un = (n+2) ... (2n-1)(2n)(2n+2) = k*2n+1
il ne manque pas grand chose pour en déduire :
(n+2) ... (2n-1)(2n)(2n+1)(2n+2) = k'*2n+1 qui est l'écriture de Pn+1
autre façon de faire :
Hypothèse de récurrence Pn (je ne la réécris pas)
On cherche à prouver Pn+1
donc j'écris le seul premier membre de Pn+1 et je calcule à partir de ce premier membre dont je ne sais pas du tout si oui ou non il est égal à k'*2n+1 (c'est ce qu'il faut démontrer)
Un+1 = (n+2) ... (2n-1)(2n)(2n+1)(2n+2) (c'est juste la définition de Uk)
puis je cherche à faire apparaitre dans cette écriture là l'expression de Un :
il faut être un peu aveugle pour ne pas voir immédiatement quels termes manquent et quels termes sont en trop, ce qui donne :
Un+1 = une certaine expression avec Un et n
puis je simplifie cette expression là pour en déduire sa valeur compte tenu de l'hypothèse de récurrence, en remplaçant juste Un par sa valeur k*2n
ce qui donne Pn+1
les deux méthodes sont tout aussi valables mais à mon avis la première (celle commencée par plumedephenix) nécessite plus de "divination" pour deviner la chaine d'implication, que la seconde (celle que je proposais au départ)
Pour l'initialisation, je remplace n=1 mais dois-je également remplacer k par 1? Je ne sais pas comment faire autrement...
Je pars donc de l'équation (n + 1)(n + 2)...(2n - 1)(2n) = k*2n
Puis je multiplie chaque membre par 2 pour obtenir (2n + 2)(2n + 4)...(4n - 2)(4n) = 2k*2n+1
le premier membre est multiplié par 2n
le deuxième membre est multiplié par 2
J'ai un doute, voilà ma démonstration maintenant :
On part de : (n+1)(n+2)...(2n-1)(2n)=k*2n
puis : 2(n+1)(n+2)...(2n-1)(2n)=k*2n*2
Alors: (2n+2)(n+2)...(2n-1)(2n+2)=k*2n+1
Et : (n+2)(n+3)...(2n+1)(2n+2)=k*2n+1
Cela est-ce bon, ou alors à la deuxième ligne de mon calcul faut-il mettre des crochets et multiplier tout le membre? 
@carpediem : tu n'as pas lu sa correction du 12-09-15 à 21:53 ?
il y était bien écrit :
donc si je multiplie chaque membre par 2 : (2n+2)(n+2)....(2n-1)(2n) = k * 2n+1
@plumedephenix :
Pour l'initialisation, je remplace n=1 mais dois-je également remplacer k par 1? Je ne sais pas comment faire autrement...
initialisation n = 1 et on trouve la valeur de k
la propriété exprimée complètement et clairement s'écrit
quelque soit n, il existe un nombre k impair tel que
(n+1)(n+2)...(2n-1)(2n) = k * 2n
avec n = 1 ça fait 1*2 = 1*21 et on trouve k = 1, qui est bien un nombre impair, oui.
(il existe un certain k impair dont on ne dit rien d'autre dans la propriété, et on trouve que avec n = 1 ce nombre k est 1)
avec n = 2 : 3*4 = 3*22 le nombre k que l'on trouve est 3 qui est bien "il existe un certain nombre impair"
avec n = 3 : 4*5*6 = 15 * 23 le nombre k que l'on trouve est 15, qui est bien un nombre impair.
etc ...
hypothèse : N(n) = (n + 1)(n + 2) ... (2n - 1)2n est multiple de 2n
donc N(n) = k2n avec k entier
donc 2(2n + 1)N = 2(n + 1)(n + 2)...(2n - 1)2n(2n + 1) = (n + 2)(n + 3)...2n(2n + 1)(2n + 2) = 2(2n + 1)k2n = K2n + 1 <=> N(n + 1) = K2n + 1
épictou ...
d'accord mais si j'ai bien compris, pour trouver k, on doit supposer que l'égalité est vérifiée pour n=1 donc en faisant ça on trouve forcément que k*21 est égal à 2, j'ai du mal à comprendre le sens de l'étape initialisation dans ce cas?
J'ai un doute, voilà ma démonstration maintenant :
On part de : (n+1)(n+2)...(2n-1)(2n)=k*2n OK
puis : 2(n+1)(n+2)...(2n-1)(2n)=k*2n*2 OK
Alors: (2n+2)(n+2)...(2n-1)(2n+2)=k*2n+1 faux tu as fait disparaitre le terme 2n et tu as rajouté arbitrairement un deuxième "2n+2"
Et : (n+2)(n+3)...(2n+1)(2n+2)=k*2n+1 faux donc et doublement faux car tu viens de faire apparaitre un terme 2n+1 de ton chapeau
la règle de base immuable et il n'y en a aucune autre, et certainement pas des tours de passe passe que consistent à ajouter ou retirer ce qu'on a envie seulement où on en a envie.
on transforme une égalité en une égalité équivalente en effectuant la même opération sur les deux membres
et rigoureusement rien d'autre
(à part développer, factoriser etc)
par exemple :
en multipliant par 2 les deux membres
(n+1)(n+2)...(2n-1)(2n)=k*2n devient
2(n+1)(n+2)...(2n-1)(2n)=k*2n*2
c'est une opération légale et justifiée par la phrase : "on multiplie par deux les deux membres"
ensuite
(2n+2)(n+2)...(2n-1)(2n+2)=k*2n+1 aucune justification ne permet d'écrire ça
juste est
à partir de (2n+2)(n+2)...(2n-1)(2n) = k*2n+1
on peut écrire en changeant l'ordre des termes du produit (un produit est commutatif)
(n+2)...(2n-1)(2n)(2n+2) = k*2n+1
tu remarques que aucun terme n'a disparu et aucun nouveau terme n'est apparu
c'est juste une autre écriture de la même chose
ensuite toute transformation devra conserver ces termes là, ou en ajouter d'autres
en effectuant la même opération sur les deux membres
à partir de (n+2)...(2n-1)(2n)(2n+2)
On souhaite obtenir
(n+2)...(2n-1)(2n)(2n+1)(2n+2)
quelle est l'opération effectuée ?
et cette opération là il faut donc la faire aussi sur le second membre k*2n+1
Merci Mathafou de ta réponse, j'ai fait une faute de frappe à la troisième ligne de ma démonstration ce qui explique la disparition du 2n...
au temps pour moi donc et l'opération que tu fais à la fin est multiplier chaque des deux membres par 2n+1, ce que j'ai compris et que je vais faire dès maintenant!
d'accord mais si j'ai bien compris, pour trouver k, on doit supposer que l'égalité est vérifiée pour n=1 donc en faisant ça on trouve forcément que k*21 est égal à 2, j'ai du mal à comprendre le sens de l'étape initialisation dans ce cas?
n = 1 le premier membre est juste 2 (le permier terme du produit est n+1 = 2 et c'est aussi le dernier terme 2n = 2, donc le seul terme du produit)
et donc IL EXISTE bien un nombre k tel que 2 = k*21
et on trouve k = 1 (on ne suppose pas k = 1, on en trouve la valeur)
et donc on peut bien écrire
pour n = 1, il existe bien un nombre k impair (on l'a trouvé, il vaut 1, et c'est DONC bien un nombre impair) tel que ...
qui est bien la propriété telle que exprimée
et cette étape d'initialisation doit être correctement comprise et interprétée en terme de l'énoncé de la propriété P littéralement.
(il existe un certain k impair tel que...)
parce que c'est réellement ça la propriété qu'il faut démontrer.
même si ce n'est peut être pas exprimé dans ce que plumedephenix à recopié de l'énoncé
simplement "il existe un nombre entier k tel que ... = k*2n est de peu d'intérêt
ce qui est intéressant c'est qu'il n'y a aucun autre facteur 2 là dedans, c'est à dire que k est impair.
que tous les facteurs 2 de l'expression sont tous dans le 2n
simplement "il existe un nombre entier k tel que ... = k*2n est de peu d'intérêt
pas tout à fait d'accord ... d'ailleurs on voit bien les pb du posteur sur l'expression de l'entier (que j'appelle N(n)) en fonction de n
mais tu as raison on peut aller au bout et l'imparité de k est aussi intéressante ....
ce que je veux dire c'est que écrire que le nombre 672 (au hasard) est 42*16 = 42*24 est d'un intérêt discutable
l'écrire sous la forme 21*25 est plus intéressant
tout nombre entier N peut s'écrire sous la forme N = (2k+1)*2n d'une façon unique
(quel que soit N, il existe k et n uniques ...)
et dans notre propriété, il est éminemment intéressant que le "n" de ce "tout nombre entier" est comme par hasard le même n que dans l'expression de gauche du signe =
c'est ça qu'exprime la propriété à démontrer
l'ajout de ce caractère pour k d'être impair est juste l'ajout de la phrase :
"or le produit de deux nombres impairs est un nombre impair"
si on ne veut pas en tenir compte, la dernière étape de la conclusion est juste :
"si on appelle k' = ... etc"
que ce k' soit impair si k est impair, on peut l'ignorer, tout à fait.
de toute façon à part la phrase : le produit de deux nombres impairs est un nombre impair donc ..."
tout est exactement pareil.
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