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Divisibilité dans Z

Posté par
ArchimedeHK
17-10-24 à 09:27

Bonjour à tous,

Voici un exercice sur lequel j'aurais besoin d'une idée pour la question 2 puisque la méthode de combinaison linéaire ne fonctionne pas.

Voici l'énoncé complet extrait du Livre Scolaire Maths Expertes exercice 62 page 106:

Soit n un entier naturel. On définit le nombre f(n) par:

f(n)=(5n^2+10n-2)/(n^2+1)

1. Déterminer les nombres a, b et c tels que f(n)=a+(bn+c)/(n^2+1)

On trouve a =5, b=10 et c=-7 par identification ou division euclidienne.

2. Existe-t-il des valeurs de n pour lesquelles f(n) est un entier ?

La combinaison linéaire ne fonctionne pas et j'aurais besoin d'une idée pour le monter de la façon la plus simple possible.

Merci beaucoup pour votre aide

Posté par
carpediem
re : Divisibilité dans Z 17-10-24 à 10:01

salut

donc f(n) = 5 + \dfrac {10n - 7} {n^2 + 1}

la méthode de combinaison linéaire marche toujours !!  mais ce qui est compliqué c'est de trouver la bonne combinaison linéaire !!

f(n) est entier \iff n^2 + 1 divise 10n - 7

or n^2 + 1 divise n^2 + 1 (tautologie)

donc n^2 + 1 divise 10n - 7 \Longrightarrow n^2 + 1 divise 10(n^2 + 1) - n(10n - 7) = ...

Posté par
fabo34
re : Divisibilité dans Z 17-10-24 à 10:25

n^2+1 |10n-7

n forcément impair. Et n²+1 forcément inférieur à la moitié de 10n-7. Petite inéquation qui donne n<3. Donc pas de solution.

Mais la méthode de  carpediem est tellement plus élégante.

Posté par
ArchimedeHK
re : Divisibilité dans Z 17-10-24 à 11:11

Merci Carpediem, cependant j'étais bloqué sur la deuxième combinaison linéaire car il reste 7n+10 après calcul...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Divisibilité dans Z 17-10-24 à 11:17

Bonjour,

Citation :
Donc pas de solution.
J'ai un doute.

Remarque : il n'est pas écrit "Existe-t-il des valeurs de n pour lesquelles f(n) est un entier naturel ?"

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Divisibilité dans Z 17-10-24 à 11:21

Et je ne comprends pas ceci :

Citation :
n forcément impair

Posté par
fabo34
re : Divisibilité dans Z 17-10-24 à 11:49

Bonjour Sylvieg:
- oui, désolé. C'est n pair. (puisque 10n - 7 est impair, il faut  n²+1 impair)
- Oui. En fait 0 est solution, il ne faut donc pas l'oublier.

Posté par
carpediem
re : Divisibilité dans Z 17-10-24 à 12:07

carpediem @ 17-10-2024 à 10:01

or n^2 + 1 divise n^2 + 1 (tautologie)

donc n^2 + 1 divise 10n - 7 \Longrightarrow n^2 + 1 divise 10(n^2 + 1) - n(10n - 7) \red = 7n + 10
ben on continue !!!

n^2 + 1 divise 10n - 7 et 7n + 10 donc n^2 + 1 divise 10(7n + 10) - 7(10n + 10) = ...

REM : on peut faire une seule combinaison linéaire qui résume les deux que je propose :


n^2 + 1 divise n^2 + 1 et 10n - 7 donc n^2 + 1 divise R(n) = P(n) (n^2 + 1) + Q(n)(10n - 7) où P et Q sont des polynômes (en n) tels que R(n) est une constante numérique ... que tu trouveras en finissant mon calcul précédent.

les deux combinaisons linéaires précédentes permettent de déterminer P et Q ...

Posté par
carpediem
re : Divisibilité dans Z 17-10-24 à 12:12

damned !! une erreur :

carpediem @ 17-10-2024 à 12:07


n^2 + 1 divise 10n - 7 et 7n + 10 donc n^2 + 1 divise 10(7n + 10) - 7(10n {\blue - 7}) = ...

Posté par
ArchimedeHK
re : Divisibilité dans Z 18-10-24 à 03:04

C'est parfaitement clair !

Merci beaucoup Carpediem.

Posté par
ArchimedeHK
re : Divisibilité dans Z 18-10-24 à 03:44

J'ai trouvé que n^2+1 divise 149 et donc uniquement n=0 fonctionne tel que f(n) soit un entier relatif.

Posté par
carpediem
re : Divisibilité dans Z 18-10-24 à 16:08

de rien



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