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Divisibilité dans Z
Posté par ArchimedeHK
Bonjour à tous,
Voici un exercice sur lequel j'aurais besoin d'une idée pour la question 2 puisque la méthode de combinaison linéaire ne fonctionne pas.
Voici l'énoncé complet extrait du Livre Scolaire Maths Expertes exercice 62 page 106:
Soit n un entier naturel. On définit le nombre f(n) par:
f(n)=(5n^2+10n-2)/(n^2+1)
1. Déterminer les nombres a, b et c tels que f(n)=a+(bn+c)/(n^2+1)
On trouve a =5, b=10 et c=-7 par identification ou division euclidienne.
2. Existe-t-il des valeurs de n pour lesquelles f(n) est un entier ?
La combinaison linéaire ne fonctionne pas et j'aurais besoin d'une idée pour le monter de la façon la plus simple possible.
Merci beaucoup pour votre aide
salut
donc
la méthode de combinaison linéaire marche toujours !! mais ce qui est compliqué c'est de trouver la bonne combinaison linéaire !!
f(n) est entier divise 10n - 7
or divise
(tautologie)
donc divise 10n - 7
divise
n forcément impair. Et n²+1 forcément inférieur à la moitié de 10n-7. Petite inéquation qui donne n<3. Donc pas de solution.
Mais la méthode de carpediem est tellement plus élégante. 
Merci Carpediem, cependant j'étais bloqué sur la deuxième combinaison linéaire car il reste 7n+10 après calcul...
Bonjour,
Citation :
Donc pas de solution.
J'ai un doute.
Donc pas de solution.
Remarque : il n'est pas écrit "Existe-t-il des valeurs de n pour lesquelles f(n) est un entier naturel ?"
Bonjour Sylvieg:
- oui, désolé. C'est n pair. (puisque 10n - 7 est impair, il faut n²+1 impair)
- Oui. En fait 0 est solution, il ne faut donc pas l'oublier. 
carpediem @ 17-10-2024 à 10:01
or
divise (tautologie)
donc divise 10n - 7 
divise  - n(10n - 7) \red = 7n + 10)
ben on continue !!!
or
donc
REM : on peut faire une seule combinaison linéaire qui résume les deux que je propose :
n^2 + 1 divise n^2 + 1 et 10n - 7 donc n^2 + 1 divise R(n) = P(n) (n^2 + 1) + Q(n)(10n - 7) où P et Q sont des polynômes (en n) tels que R(n) est une constante numérique ... que tu trouveras en finissant mon calcul précédent.
les deux combinaisons linéaires précédentes permettent de déterminer P et Q ...
J'ai trouvé que n^2+1 divise 149 et donc uniquement n=0 fonctionne tel que f(n) soit un entier relatif.