25 = -1 modulo 13
De plus 8=-5 modulo 13

Donc 25^n+5^n+8^n+1 = (-1)^n+1 modulo 13.
Donc 25^n+5^n+8^n+1 est divisible par 13 ssi n est un nombre impair.

@+

je ne comprend pas comment tu arrives a 25^n+5^n+8^n+1= (-1)^n+1.

et comment tu arrive à conclure que c'est divisible par 13 si n est impair ???

a la la detaillons...
25 = -1 modulo 13
donc 25^n=(-1)^n modulo 13

de meme 8=-5 modulo 13
donc 8^n=(-5)^n modulo 13

5=5 modulo 13
d'ou 5^n=5^n modulo 13

1 = 1 modulo 13

d'où on a :

25^n=(-1)^n modulo 13
8^n=(-5)^n modulo 13
5^n=5^n modulo 13
  1 = 1 modulo 13

on fait la somme des 4 egalites :
25^n+8^n+5^n+1=(-1)^n+(-5)^n+5^n+1 modulo 13

(-5)^n+5^(n)=(-1)^n*(5)^n+5^n
on factorise 5^n : (-5)^n+5^(n)=(5^n)*(1+(-1)^n)

25^n+8^n+5^n+1=(5^n+1)*(1+(-1)^n) modulo 13
a mon avis il y a une petite faute dans le post
de victor...
mais on revient au meme resultat...
on cherche les n tels que l'expression soit divisible par 13
d'ou 5^n+1 divisble par 13 ou (1+(-1))^n divisible par 3
si n impair (1+(-1))^n=0 d'ou ce n convient.

on prend n pair maintenant n=2*p
5^n=25^p
or 25 =-1 modulo 13
d'ou 25^p=(-1)^p modulo 13
d'ou 25^p+1=1+(-1)^p modulo 13
d'ou p impaire.

les solutions
n=2p+1 avec p dans N
ou n=2*(2q+1)=4q+2 avec q dans N

j'espere n'avoir pas fait d'erreur moi aussi...oups!
a verifier tout ca !!!

merci beaucoup j'ai compris maintenant! il n'y a pas d'erreur je pense que c'est juste mais le seul problème c'est que quand je vérifie a la calculatrice ca ne marche pas avec les nombres impairs ... bizarre vu que le raisonnement est juste.

Merci de m'avoir aider c'est super!

salut
on cherche n tel que 5^2n+5^n soit divisible par 13.

25^n=(-1)^n modulo 13
1 cas : n pair n=2p
25^2p=1 modulo 13
5^2p=(-1)^p modulo 13
d'ou 5^4p+5^2p divisible par 13 si et seulement si p impair.

2 cas : n impair n=2p+1
25^(2p+1)=-1 modulo 13
5^(2^p+1)=5*(-1)^p modulo 13
d'ou 25^(2p+1)+5^(2p+1)=5*(-1)^p-1 modulo 13
en fonction de p on a que deux valeurs -5-1=-6
ou 5-1=4 d'ou on a jamais 0. donc les nombres n impairs
ne sont pas solution.

conclusion n=2p avec p=2q+1, q entier