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Niveau terminale
Divisibilité et Congruence
Posté par Julius456
Bonsoir, je dois faire un exercice et je suis un peu confus et bloqué sur la question 3. Pourriez vous s'il vous plaît m'aider.
Voici l'énoncé de l'exercice :
On note An ( indice n) = n(2n+1)(7n+7), où n est un entier naturel.
1) Montrer que An est pair ( On pourra raisonner par disjonction des cas.)
Soit n est pair soit n est impair
Si n est pair, alors n(2n+1)(7n+7) est divisible par 2 car n peut s'écrire comme (2k) avec k un entier naturel
Si n est impair alors 7n est impair et 7n+1 et pair donc An est divisible par 2 c'est à dire pair
2) Montrer que An est divisible par 3
On pouvait sûrement raisonner par récurrence ou par incompatibilité des cas moi j'ai simplement développé.
n(2n+1)(7n+7) = (14 n² + 7n+7)n = 14n³+ 21n² +7n = 15n³+ 21n²+6n-1³+1² = 3(5n³+7n²+2n)+0 donc bien divisible par trois car il s'écrit sous la forme 3k, avec k appartient à N
3) Le nombre An est-il divisible par 5 pour tout entier naturel n ?
Ma version est en PDF ci joint. J'ai fait un tableau en "essayant de démontrer une divisibilité à l'aide de Congruence". Je ne suis pas sûr de mon résultat. Pourriez vous m'aider s'il vous plaît.
Merci beaucoup
* Modération > pdf remplacé par l'image du tableau pour plus de lisibilité 
*
Pardon pour l'erreur dans le PDF pour n=0, à initialisation la le produit de facteurs est congru à 0[5] donc c'est valide.
Bonsoir,
la question est " Le nombre An est-il divisible par 5 pour tout entier naturel n ?"
un contre exemple suffit pour répondre.
si n=1, An n'est pas divisible par 5...
il suffit d'un contre exemple ..
A1 = 42, donc An n'est pas divisible par n pour tout n entier naturel.
oui,
pour la q1, tu écris "Si n est impair alors 7n est impair et 7n+1 et pair donc An est divisible par 2 c'est à dire pair
"
j'aurais plutot écrit que n impair s'écrit 2k+1
donc 7(n+1) s'écrit 7(2k+1+1)= 7(2k+2) = 7 * 2 (k+1)
==> An divisible par 2
q2 : je ne comprends pas bien ce que tu as fait..
Pour n = 3k
n(2n+1)(7n+7) = 3k (2(3k)+1)(7(3k)+7) = 3k(6k+1)(21k+7) est divisible par 3
Pour n= 3k+1
n(2n+1)(7n+7) = (3k+1)(2(3k+1)+1)(7(3k+1)+7) = (3k+1)(6k+3)(21k+14) = 3(3k+1)(2k+1)(21k+14) est divisible par 3
Pour n= 3k+2
n(2n+1)(7n+7)= (3k+2)(2(3k+2)+1)(7(3k+2)+7) = (3k+2)(6k+5)(21k+21) = 3(3k+2)(6k+5)(7k+7) est divisible par 3.
J'avais oublié pour la question 3, on nous demande"pour quel valeurs de n" c'est divisible par 5. C'est le sous-entendu je crois, d'après le tableau que j'ai fais ne cerait-ce pas quand n est pair ?
salut
or n(n + 1) est le produit de deux entiers consécutifs ... donc ...
ce que tu dis est suffisant et contrairement à ce que dit Leile il n'est pas nécessaire de détailler comme il le propose ...
par contre on peut rappeler que le produit de deux impairs est impair ... et que la somme de deux impairs est paire ...
si n est pair alors tout multiple d'un pair est pair (en vertu de la propriété : si a divise b et b divise c alors a divise c ou encore : si c est multiple de b et b est multiple de a alors c est multiple de a)
3n(7n + 7) est trivialement multiple de 3 donc a_n est tout autant multiple de 3 que ne l'est ...
à nouveau on peut distinguer les cas mais ce n'est pas nécessaire
par contre il y a de nombreuses erreurs de calcul dans le développement de n(2n + 1)(7n + 7)
et il est évident que si a_n pouvait s'écrire 3k alors il en serait de même de (2n + 1)(n + 1) donc inutile de développer le tout
comme l'a dit Leile un contre exemple suffit pour montrer qu'une propriété est fausse ...
par ailleurs il est évident que a_n est multiple de 5 lorsque n l'est (en vertu de la propriété rappelée plus haut) ... et ce n'est pas le seul cas ...
Leile @ 16-10-2021 à 22:27
il suffit d'un contre exemple ..
A1 = 42, donc An n'est pas divisible par n pour tout n entier naturel.
Attention, cette phrase n'est pas claire :
il suffit d'un contre exemple ..
A1 = 42, donc An n'est pas divisible par n pour tout n entier naturel.
La négation de "An est divisible par n pour tout n entier naturel" ne doit pas contenir ce "pour tout n".
Genre "avec n entier naturel, An n'est pas toujours divisible par n" ou "avec n entier naturel, An peut ne pas être divisible par n".
Si on est perfectionniste :
"il existe n entier naturel tel que An ne soit pas divisible par n"
Merci pour vos réponses.
Il faut donc pour la question 1 que je mentionne à un moment que le produit de deux impairs est impair et que la somme de deux impairs est paire.
Pour la question 2, je ne comprend pas bien 2 choses. Pourquoi on ne liste pas les cas comme Leile le propose. Et d'où provient le
3n(7n + 7). Je suis un peu perdu sur la question 2, sur ce qu'il faut faire au final .
Enfin, pour la question 3, ne faudrait il pas répondre par quelque chose comme : " Le nombre An est divisible par 5 quand n est pair," (comme le montre mon tableau ) ?
je dis simplement que tu peux le faire par disjonction de cas ... mais que ce n'est pas nécessaire ...
j'utilise simplement la propriété fondamentale de l'arithmétique : si d divise a et b alors d divise toute combinaison linéaire de a et b
as-tu calculé a_n + 3n(7n + 7) ?
Julius456 @ 17-10-2021 à 10:14
Non, a quoi correspond a_n + 3n(7n + 7) ? Et pourquoi le calculer ? ben tu le fais et tu verras !!!
Pour la question 2 ou 3 ? pour 2/
Non, a quoi correspond a_n + 3n(7n + 7) ? Et pourquoi le calculer ? ben tu le fais et tu verras !!!
Pour la question 2 ou 3 ? pour 2/
D'accord, merci beaucoup pour votre aide.
J'aurai juste une dernière question que j'ai posée précédemment : "Pour la question 3, ne faudrait il pas répondre par quelque chose comme : " Le nombre An est divisible par 5 quand n est pair," (comme le montre mon tableau ) ?"
Merci bien
dans ton tableau mets seulement l'un des deux : 7n + 7 ou 7(n + 1) (c'est élémentaire en terminale expertes tout de même)
et plutôt que x produit écris explicitement le produit !!!
pour en revenir à ta question : où vois-tu que n est pair ?
carpediem @ 16-10-2021 à 23:52
par ailleurs il est évident que a_n est multiple de 5 lorsque n l'est (en vertu de la propriété rappelée plus haut) ... et ce n'est pas le seul cas ...
soit tu donnes précisément toutes les valeurs de n soit tu réponds de façon suffisante avec un contre exemple ...
par ailleurs il est évident que a_n est multiple de 5 lorsque n l'est (en vertu de la propriété rappelée plus haut) ... et ce n'est pas le seul cas ...
l'important étant de pouvoir conclure que ce n'est pas vrai pour toutes les valeurs de n ...