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divisibilité-nombres premiers

Posté par titi72 (invité) 20-04-05 à 20:36

Bonsoir à tous,

j'aurais besoin que l'on m'explique quelque chose svp :

Quand on dit :
"Pour montrer qu'un nombre N est divisible par 12, il suffit de montrer qu'il est divisible par 3 et par 4 " ou encore :
"Pour montrer qu'un nombre N est divisible par 15, il suffit de montrer qu'il est divisible par 3 et par 5 " ou encore :
"Pour montrer qu'un nombre N est divisible par 24, il suffit de montrer qu'il est divisible par 3 et par 8 " ou encore :
"Pour montrer qu'un nombre N est divisible par 33, il suffit de montrer qu'il est divisible par 3 et par 11 " ou encore :
"Pour montrer qu'un nombre N est divisible par 36, il suffit de montrer qu'il est divisible par 4 et par 9 " etc...

question 1
Est-ce que ça veut dire que N est divisible par a, puis son quotient par b (divisible par a et b en même temps, c'est-à-dire N = a*b*k) OU qu'il est possible de diviser N par a et qu'il est possible de diviser N par b ?

question 2
Comment fait-on pour trouver a et b ?
Je remarque que, d'une part, dans les exemples précédents a*b correspond à la décomposition de N en produits de facteurs premiers.
Je remarque d'autre part que a et b sont premiers entre eux.
Quelle est l'explication ?

J'aimerais VRAIMENT VRAIMENT VRAIMENT comprendre et que quelqu'un m'explique. Cela fait un an que je bosse les maths toute seule, sans prof (pour préparer un concours) et je n'ai toujours pas réussi à comprendre le pourquoi du comment ! Et pourtant j'ai effectué de nombreuses recherches sur internet et dans des bouquins, mais je retrouve toujours les mêmes théorèmes, et je ne trouve pas de réponse concrète à des questions aussi "bêtes" que celles-là !
Si dans un exercice, on me dit que N est divisible par 54, par exemple, il faut que je montre que N est divisible par a et par b, comment je fais pour déterminer a et b ?

Merci beaucoup par avance

Bonne soirée à tous

Posté par titi72 (invité)re : divisibilité-nombres premiers 20-04-05 à 22:11

Personne pour m'aider ?

Posté par re : divisibilité-nombres premiers 20-04-05 à 22:38

Bonsoir titi72!

question 1
Je réponds par des esemples. Je prends le test de divisibilité par 12. Pour voir que N est divisible par 12 on teste si N est divisible par 4 et si N est divisible par 3. L'idée de ce test est effectivement que N=4*3*k. et le 4 et le 3 sortent effectivement de la décomposition en nombres premiers.

Avec ces facteurs bien choisis, on peut uniquement tester que N est divisible par chacun de ces nombres individuellement. Si on ne les choisit pas bien, il faut effectivement tester que N est divisible par un facteur puis le quotient divisible par l'autre facteur.

Je continue avec l'exemple du 12. 12=2*6. Mais si N est divisible par 2 et N est divisible par 6 cela ne suffit pas pour dire que N est divisible par 12. L'exemple le plus simple est 6, ou 18 par exemple. Si on prend 2 et 6 pour tester la divisibilité par 12 il faut effectivement que N soit divisible par 2 et son quotient divisible par 6 (ou le contraire).

Les termes choisis sont bien la décomposition du nombre n (celui à tester la divisibilité) en facteurs premiers. Par exemple si non veut tester la divisibilité par 180 on décompose 180 en nombres premiers: $180=2^2\cdot3^2\cdot5$ . Donc si N est divisible par 4, N est divisible par 9 et N divisible par 5, on peut conclure que N est divisible par 1800. Mais si on prend une autre décomposition il faut passer par la divisibilité du quotient.

Dis-moi si mon explication est compréhensible.

Isis

Posté par titi72 (invité)re : divisibilité-nombres premiers 21-04-05 à 11:06

Merci beaucoup à toi isisstruiss !

Juste une autre petite question :
Si on prend la décomposition en facteurs premiers, on est sûr que les nombres sont toujours premiers entre eux ?

Et si le nombre est trop grand, comment faire ?
Exemple : 70227 ?
70227=3*3*3*3*3*17*17
Si un nombre est divisible par 70227, il faudrait donc montrer qu'il est divisible par 243 et 289 ? on est guère avancé ...

Merci encore, tu m'as apporté un nouvel éclairage sur la question...

Posté par re : divisibilité-nombres premiers 21-04-05 à 12:22

Oui, absolument titi72! Comme tu décomposes n es nombres premiers on a $n=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}$ avec p_i premier (tous différents) et e_i un exposant naturel. Les termes $p_i^{n_i}$ seront tous premiers entre eux.

Ce genre de test on peut utiliser aisément pour tester la divisibilité par un nombre "petit" comme 6, 12, 15 etc, mais c'est clair que ce n'est pas pratique pour tester la divisibilité par 70227 ou autres grands nombres. Mais bon, je ne me rappelle pas d'avoir jamais eu besoin de tester la divisibilité par 70227...

Isis

Posté par titi72 (invité)re : divisibilité-nombres premiers 21-04-05 à 13:02

Merci beaucoup isisstruiss !

Mais bon, je ne me rappelle pas d'avoir jamais eu besoin de tester la divisibilité par 70227...

C'est clair que c'est très peu probable !
Mais je m'interrogeais juste sur l'efficacité de ma méthode !

Merci encore !