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(en se restreignant à a≥b, c≥d et a+b≥c+d pour avoir des solutions, uniques)

a=1, b=1, c=1, d=1 : 1|4 et 1|4
a=2, b=1, c=1, d=1 : 2|4 et 1|6
a=2, b=1, c=2, d=1 : 2|6 et 2|6
a=3, b=1, c=2, d=1 : 3|6 et 2|8
a=4, b=1, c=1, d=1 : 4|4 et 1|10
a=5, b=1, c=4, d=1 : 5|10 et 4|12
a=5, b=1, c=3, d=2 : 5|10 et 6|12
a=6, b=1, c=2, d=1 : 6|6 et 2|14
a=8, b=1, c=3, d=1 : 8|8 et 3|18
a=9, b=1, c=5, d=4 : 9|18 et 20|20
a=11, b=1, c=8, d=3 : 11|22 et 24|24
a=14, b=1, c=6, d=1 : 14|14 et 6|30
a=14, b=1, c=5, d=2 : 14|14 et 10|30
a=20, b=1, c=7, d=3 : 20|20 et 21|42
a=34, b=1, c=10, d=7 : 34|34 et 70|70
a=38, b=1, c=13, d=6 : 38|38 et 78|78
a=54, b=1, c=22, d=5 : 54|54 et 110|110
a=2, b=2, c=1, d=1 : 4|4 et 1|8
a=2, b=2, c=2, d=2 : 4|8 et 4|8
a=3, b=2, c=2, d=1 : 6|6 et 2|10
a=4, b=2, c=3, d=1 : 8|8 et 3|12
a=4, b=2, c=2, d=2 : 8|8 et 4|12
a=6, b=2, c=4, d=2 : 12|12 et 8|16
a=7, b=2, c=6, d=1 : 14|14 et 6|18
a=10, b=2, c=6, d=4 : 20|20 et 24|24
a=13, b=2, c=10, d=3 : 26|26 et 30|30
a=6, b=3, c=6, d=3 : 18|18 et 18|18
a=4, b=4, c=4, d=4 : 16|16 et 16|16
28 solutions

| veut dire "divise"

j'étais parti au départ sur une erreur conduisant à affirmer que a,b,c,d ≤ 10
la détermination d'une borne maxi pour a,b,c,d n'est pas si simple comme la valeur 54 le montre !
prouver une telle borne est indispensable pour prouver que le programme a bien donné toutes les solutions.
si a,b,c,d ≥ 2 tous, alors ils sont tous ≤ 10 (ma preuve est correcte dans ce cas)
mais si au moins un des quatre est < 2 ma preuve échoue.
les valeurs record sont effectivement obtenues avec l'un d'eux = 1

on n'a pour l'instant pas prouvé que ces solutions sont les seules vu que mon programme est limité pour des raisons de temps de calcul (force brute) à a,b,c,d ≤ 100

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Je n'ai pas ajouté les inégalités, je les ai multipliés :
4(ac+bc+ad+bd) abcd

D'où . D'où a ou b 16 et c ou d 16 .

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a=0, b=0, c=0, d=0  est bien une 29e solution  non?

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Je vais utiliser les conventions de mathafou (légèrement modifiées). Je cherche les solutions non nulles telles que soit le plus grand des 4 et telles que .

Puisque divise et puisque est le plus grand des 4 nombres:



On en déduit que    .

La suite dans un prochain post.

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Nous avons donc, puisque est le plus grand des 4 nombres:



On en déduit que       puis que  

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divise , qui est inférieur à .

On en déduit que    

Donc, il existe entier tel que        et    .

Remarquons que appartient à l'intervalle , puisque est plus grand que et plus petit que .  Une petite étude des variations de   sur l'intervalle mentionné précédemment montre que    .

Donc, puisque   divise :    .

On en déduit que   et donc que (rappelons que )

Une étude rapide permet d'établir que  

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divise , donc divise .

Puisque est inférieur ou égal à , il y a deux possibilités:

   ou  

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Alors,  

Un petit raisonnement supplémentaire permet d'obtenir la solution:

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On a alors          (avec   puisque

Premier cas:  

  est solution si et seulement si divise .

Un raisonnement classique permet d'obtenir les 4 solutions suivantes:





Deuxième cas:  

  est solution si et seulement si divise .

Un raisonnement classique permet d'obtenir les 2 solutions suivantes:



Troisième cas:  
est solution si et seulement si divise .

Ici, plutôt que d'utiliser le raisonnement classique auquel je faisais allusion pour les deux premiers cas, on va remarquer que:
   puisque est supérieur ou égal à
  donc  
On n'a donc "que" 8 possibilités à examiner et on obtient une solution:



Quatrième cas:  
Même principe que pour le troisième cas, avec 2 possibilités à examiner.
On obtient une solution    

Il n'y a pas d'autre cas, on s'en rend compte après l'examen du cas où

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divise qui est inférieur à .

Il y a donc 4 possibilités à étudier:
   avec     pair

    avec     pair

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L'étude est identique à celle qui a été faite précédemment.
On obtient toutes les solutions trouvées par mathafou, il n'y en a pas d'autre.
J'ai pu cependant faire des erreurs de calcul.

De fait, j'avais "oublié" 3 solutions à la suite d'erreurs de calcul. En consultant la liste de mathafou, j'ai pu corriger celles-ci. J'espère qu'il n'y en a pas d'autre.

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Dans ce cas, cd2(a+b) donne cd 2(c+d+2) . D'où (c-2)(d-2) 8 .
Si d 5 on a (c-2) (d-2) 3 ; donc (c-2)(d-2) 9 .
D'où d4 .