Pour la 1 j'ai trouvé  
(a - c)(b - c) = ab -ac -cb +c²


Mais je n'arrive pas a résoudre la question 2
j'ai trouve que et puis après je sais plus que quoi faire ou même comment utiliser la réponse de la question 1 puisque je suppose que ca un rapport

salut

comment se servir de 1/ pour 2/ ?

Il faudra identifier ab -ac -cb +c² dans le développement pour le factoriser ensuite mais je  ne vois pas comment développer jusqu'a obtenir une forme comme ca  ab -ac -cb +c² ?

qu'y a-t-il dans qu'il n'y a pas dans   ?

Bonjour,
Silence assourdissant....
Juste pour faire un peu de bruit

Bonsoir,

Il en manque, il y a 45 solutions, dont 4050,4050. Mais, à mon avis,  Frexs a fait un tour sur Chatbot GPT et n'a plus besoin du site.

il semble raisonnable voire même évident de se débarrasser des fractions quand on travaille dans Z ...

et alors bingo : on voit 1/ ... ou presque ...

Bonjour,
Je confirme le nombre de solutions : 45.

Bonsoir
en exprimant  1/m + 1/n = 1/2025  en  m = 2025n/(n-2025) = 2025 + 2025² /(n-2025)   puis en cherchant les diviseurs de 2025²  la suite est très simple

Je confirme que 2025² possède 45 diviseurs

Bonjour,

1/m + 1/n = 1/2025

(n+m)/(m.n) = 1/2025
n + m = m.n/2025
2025.m + 2025.n = m.n
2025.m + 2025.n - m.n = 0
2025.m + 2025.n - m.n - 2025² = - 2025²  (1)

en posant c = 2025, m = a et n = b, (1) s'écrit :

ac + bc - ab - c² = - 2025²
ab - ac - cb + c² = 2025²

Et avec la partie 1 du problème : (a-c)(b-c) = 2025²

soit en repassant aux variables originelles :

(m-2025).(n-2025) = 2025²

Or 2025 = 3^4 * 5² -->

(m-2025).(n-2025)  = 3^8 * 5^4

Comme 3 et 5 sont premiers, il y a donc (8+1)*(4+1) = 45 solutions pour m et n dans Z²

Par exemple une de ces solutions est donnée par 2025² = 3^4 * 50625 = 81 * 50625

(m-2025) = 81
n - 2025 = 50625
--> n = 2106 et m = 52650 est un couple solution.

fph67 a évoqué dans son mail  Chatbot GPT !

L'expérience est sidérante (bluffante diront les sceptiques).
Résoudre dans N² l'équation 1/m+1/n = 1/2025
En 1 seconde, on obtient non seulement une solution complète mais aussi toutes les explications (très claires) qui s'y rapportent.
Qui plus est, l'I.A.  propose en complément d'afficher  les couples solutions. Si on dit oui, on accède à un programme.... en Python récupérable et utilisable !

ZEDMATje suis intéressé par le programme python (pour comparer avec le mien)

si par hasard tu peux nous le copier-coller ... merci par avance

et pourquoi pas la démo et les explications

ou peut-être un lien tout simplement ??

Peut-être que Malou pourrait transférer la suite de ce fil... dans la salle des profs ? Elle peut aussi supprimer ce mail si elle le juge incongru...
Tu ouvres Chatbot GPT et tout simplement tu saisis comme requête :
Résoudre l'équation 1/m+1/n = 1/2025 dans N².
C'est immédiat.
Il y a quelques détails déplaisants mais vraiment...
Dans la pièce jointe, ce sont des copies d'écran. Pour avoir le code des programmes Python, il faut aller dans le chat.


PDF - 271 Ko

J'étais justement en train de décrypter la formulation de certaines lignes de ce code que je ne maitrise pas vraiment.

import math

base = 2025
square = base ** 2

# Trouver tous les diviseurs de 2025^2
divisors = []
for i in range(1, int(math.isqrt(square)) + 1):
    if square % i == 0:
        divisors.append((i, square // i))

# Générer les couples (m, n)
solutions = []
for d1, d2 in divisors:
    m1, n1 = d1 + base, d2 + base
    if (m1, n1) not in solutions and (n1, m1) not in solutions:
        solutions.append((m1, n1))

# Trier les solutions
solutions_sorted = sorted(solutions)

# Affichage
for i, (m, n) in enumerate(solutions_sorted, 1):
    print(f"{i:2d}) (m, n) = ({m}, {n})")

print(f"\nTotal : {len(solutions_sorted)} solutions")

Bonsoir,

Moi, béotien, ne me suis pas occupé des subtilités, je me suis contenté de faire calculer les 45 solutions en partant de m, code ci-joint.

L=[]
for i in range(0,9):
    for j in range(0,5):
        d=3**i*5**j
        L.append(d)
L.sort()
for i in range(0,len(L)):
    d=L[i]
    m=2025+d
    n=int(2025*(1+2025/d))
    print(i+1,m,n)

fph67
Ce code m'est plus directement accessible .

ZEDMAT : merci beaucoup ...

et effectivement j'ai fait aussi plus "naïf" et direct et quasiment comme fph67 mais sans m'occuper de la première boucle :

d varie de 1 à 2025 et je test simplement si d divise 2025 puis je translate et récupère le quotient comme fph67

c'est certainement plus long que le script de fph67 (enfin 6 secondes) mais l'avantage du mien : je peux rentrer n'importe quelle valeur sans m'occuper de savoir quelle est sa décomposition en produit de facteurs premiers

Bonsoir carpediem,

Comme dit, béotien car non matheux de formation, j'avais commencé comme toi, en allant même au delà de 2025 car je ne n'avais pas encore saisi l'histoire du 2025². Mais je me suis arrêté bien avant 2025² car même si Python est rapide, pour tester autant de valeurs, il aurait fallu être bien plus patient.
Cela dit, pour un nombre quelconque, on pouvait probablement remplacer la première boucle par une recherche de diviseurs. La toile foisonne de scripts Python, on y trouve la bonne démarche.

salut,
Programme python proposé aussi par ChatGPT.
Cliquer sur Exec en bas à gauche pour évaluer la session.

fph67 : une remarque élémentaire :

puisque m et n sont (strictement) positifs alors toute solution (m, n)  de vérifie clairement :  m >= 2025 et n >= 2025

un programme plus naïf encore testant tous les entiers de 1 à 2025^2 met 2,5 mn avec ma numworks ...

et oui on peut introduire une fonction déterminant tout d'abord la décomposition en produit de facteurs premiers d'un entier.
c'est assez classique et je le demande régulièrement à mes élèves en math expertes

mais l'un dans l'autre le coût en opération (et donc temps) doit être équivalent :

soit on teste tous le entiers pour obtenir cette décomposition et alors on ne teste que ces valeurs
soit on teste directement la divisibilité pour tous les entiers (et ce deuxième cas me semble plus efficace)

alb12 : oui j'ai le même script sur ma NW mais un truc que je ne comprends pas c'est que mes résultats vont de 2026 à 3900 (pour m) auquel je rajoute évidemment (4050, 4050)
les autres résultats sont les couples symétriques mais n'apparaissent pas or je ne vois rien dans ton script qui les rajoute à ta liste

fonction solutions(n=2025)
  local N,sol,a,b,d,k;
  N:=n^2;
  sol:=[];
  k:=0;
  pour d de 1 jusque N faire
    si irem(N,d)==0 alors
      k:=k+1;
      a:=n+d;
      b:=n+N/d;
      sol.append([k,a,b]);
    fsi
  fpour
  retourne sol
ffonction:;

ha pardon : la boucle va jusqu'à 2025²

merci et désolé  

ton programme est certainement le suivant

fonction solutions(n=2025)
  local N,sol,a,b,d,k;
  N:=n^2;
  sol:=[];
  k:=0;
  pour d de 1 jusque n faire
    si irem(N,d)==0 alors
      k:=k+1;
      a:=n+d;
      b:=n+N/d;
      sol.append([k,a,b]);
    fsi
  fpour
  retourne sol
ffonction:;

oui simplement jusqu'à n au lieu de N = n^2 auquel je rajoute (1/(2n), 1/(2n)) évidemment ...

ensuite : (m, n) est solution <=> (n, m) est solution

Ok mais pourquoi ce rajout
(2n,2n) est bien le dernier élément de la liste renvoyée non ?

non car la boucle va de 1 à 2025 donc pas jusqu'à 4050

mais tu as raison je devrais la faire aller jusqu'à 4050 directement

en fait non car alors la boucle va tout tester entre N = 2025 et 2N = 4050 alors qu'il n'y a pas de solution ...

enfin ou je les ai déjà pas symétrie

JFF ma conversation avec ChatGPT

Bonjour,

Juste pour info :

"pour d de 1 jusque n faire"

Je n'utilise pas ce langage mais par analogie avec du Python, ce serait :

"for d in range (1,n):   "

Attention au piège, cette instruction part de d = 1 INCLUS mais le d = n est EXCLUS
Donc cela balaie de 1 à (n-1)  (en Python)

Si on veut balayer toutes les valeurs dans [1 ; n], il FAUT écrire (en Python) :  "for d in range (1,n+1):   "

Si le logiciel qui utilise un "pour d de 1 jusque n faire" a la même logique de travail que Python, les valeurs balayées par d vont de 1 à (n-1)

Je vous suggère donc d'ajouter un +1 pour balayer les valeurs de 1 à n ( ""pour d de 1 jusque (n+1) faire")

Reste à l'essayer ... pour voir si la valeur manquante du doublet solution ne va pas apparaître.

non car 2025 + 1 n'est pas égal à 4050 !!