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Division avec x

Posté par
Riley
11-06-15 à 12:45

Bonjour, en faisant des exercices d'entrainement je tombe sur celui-ci:
Effectuer l'opération suivante
x3+ 4x2- 2x - 5    divisé par     x + 2

est-ce correct ?
(x3+ 4x2- 2x - 5)/(x + 2)
= x2+2x2-5

Posté par
mathafou Moderateur
re : Division avec x 11-06-15 à 13:00

Bonjour,

c'est forcément faux ou erreur de frappe
(deux termes en x² dans ton résultat)

admettons donc erreur de frappe et que tu voulais écrire x² + 2x - 5
il suffit de redévelopper (x+2)(x² + 2x - 5) pour savoir si c'est juste ou pas ...
comme ça le donne un terme constant = 2 fois -5 = -10 c'est donc faux


comment (quelle méthode) as tu fais pour obtenir ton résultat ?
c'est dans les détails de l'exécution de cette méthode qu'on trouvera l'erreur.

Posté par
Riley
re : Division avec x 11-06-15 à 13:46

D'accord, merci d'ailleurs pour ta réponse sur l'autre topic
Sinon pour ici, le problème c'est surtout que je ne vois pas trop par où commencer. Disons que j'ai trouvé un exercice corrigé où il font quelque chose de semblable, mais je pense qu'il existe surement un méthode plus simple.

Division avec x

Posté par
mathafou Moderateur
re : Division avec x 11-06-15 à 14:02

c'est bien comme ça qu'on peut procéder (division Euclidienne des polynômes)
et c'est le plus simple si on comprend bien cette méthode, qui est formellement identique à la division que l'on pose à l'école primaire avec de simples nombres

deux autres méthodes plus compliquées :
une première consiste à écrire que le résultat doit être de la forme
x3+ 4x2- 2x - 5 = (ax2 + bx + c)(x+2) + r
développer et identifier (dire qu'ils sont égaux) chacun des coefficient des puissances de x
ce qui donne un paquet d'équations en les inconnues a,b,c,r
méthode qui ici est encore applicable mais qui devient vite inextricable si on augmente le degré

une méthode qui est formellement équivalente à la division Euclidienne "posée", qui consiste à faire apparaitre de proche en proche les facteurs (x+2)

x3 + 4x2 - 2x - 5 =
x2(x+2) - 2x2 + 4x2 - 2x - 5 =
x2(x+2) + 2x2 - 2x - 5 =
x2(x+2) + 2x(x+2) - 4x - 2x - 5 = ...

mais quelle que soit la méthode que tu as choisie, comment l'as tu appliquée (détails de tes calculs, pas d'un cours avec un exemple )
tu ne vas pas me dire que tu as tiré au sort tes coefficients ou les as lus dans le marc de café ...

Posté par
Riley
re : Division avec x 12-06-15 à 00:34

Laissons tomber ce que j'avais fait, c'était du grand n'importe quoi.
Maintenant que j'ai compris ce que je devais faire, je me heurte à un autre problème, je ne comprend pas trop comment on peut diviser cette expression. Prenons par exemple la première ligne, comment x2+1 peut être contenu x3 fois dans x5+x3 ? D'ailleurs pourquoi on prend x5+x3 au lieu de x5+4x3?
Désolé j'ai beaucoup de questions, mais je tiens à bien comprendre le fonctionnement de ce type de division.

Posté par
jeveuxbientaider
re : Division avec x 12-06-15 à 03:13

Bonjour,

Comme dans la division euclidienne :

dans x5  , il y a combien de fois x2  : réponse x3   car   x5 = x2 * x3

Après pour trouver le reste on fait :
x3 * x2 = x5     d'où le -x5
x3 * 1 = x3    d'où le -x3

reste à faire
x5 - x5 = 0
-4x3 - x3 = -5x3

Dans -5x3  , il y a combien de fois x2  : réponse -5x   car   x5 = -5x * x2

Pour trouver le reste on fait
(-5x)* x2 = -5x3  ... on met +5x3
(-5x) * 1 = -5x  ... on met +5x

reste à faire  -5x3 + 5x3 = 0
les  x2  ne changent pas
-5x + 5x = 0x

etc ...

Posté par
jeveuxbientaider
re : Division avec x 12-06-15 à 04:30

Autre exemple expliqué : ----> [/url]

Posté par
jeveuxbientaider
re : Division avec x 12-06-15 à 04:34

Sinon tu peux chercher avec un moteur de recherche et les mots

division polynômes

Posté par
mathafou Moderateur
re : Division avec x 12-06-15 à 08:43

c'est vrai que prendre comme base des exemples mal expliqués ou avec des erreurs ...

dans l'exemple de Riley le 11-06-15 à 13:46 l'explication :
"on a effectué des divisions par x3, -5x et +3" est complètement fausse et propre surtout à semer la pagaille et à embrouiller
puisque elle confond diviseur et quotient

on a toujours divisé par x² (+ 1)
et les quotients sont successivement x3, -5x, et +3

dans le lien cité par jeveuxbientaider, une fois corrigé à la main en Méthode division polynomiale
(parce qu'en cliquant deux fois sur le bouton lien pour le créer cela donne un lien invalide, le lien crée contenant lui même une balise, et donc une page introuvable)
le premier tableau est faux et corrigé ensuite (donc il faut tout lire et interpréter la version correcte

le lien vers une applet pour le faire automatiquement ne marche pas, sans doute bloqué par l'antipub car utilisant des frames, à moins que le site cible soit détruit

finalement c'est encore les explications directes de jeveuxbientaider ici qui sont les plus claires !

il faut bien comprendre que ça fonctionne dans le principe comme une division de nombres quand on la pose "comme à l'école primaire" (mais apprend on encore à calculer à l'école primaire )

soit à diviser 14357 par 123

en 143 combien de fois 123 ou en 1 combien de fois 1, il y va 1 fois
1 fois 123 = 123 que je retranche de 143 reste 20
j'abaisse le chiffre suivant ce qui donne 205
en 205 combien de fois 123 ou en 2 combien de fois 1
etc

avec les polynomes c'est même encore plus simple car il n'y a pas de retenues !!
donc ici on dirait si c'était des polynomes qu'il y va 2 fois
2 fois 123 = 246 que je retranche de 205
bof
pour faire le parallèle il faudrait considérer que chaque chiffre est signé indépendamment
ici je note des chiffres négatifs comme étant soulignés
et 205 - 243 = 42 ( "-4" dizaines et 2 unités)
j'abaisse le chiffre suivant 427
en 427 combien de fois 123 ou en 4 (-4) combien de fois 1, il y va -4 fois etc

faut pas pousser le parallèle trop loin car à cause des retenues ça devient "merdique"
mais le principe est bien là

chaque monome (x5, -4x3, 3x2, du "numérateur" (dividende) joue le rôle d'un chiffre, l'exposant jouant le role du rang dans le nombre
comme si x5 voulait dire 1 centaine de mille (100000)
-4x3 voulant dire -4 milliers (-4000) etc


comprendre qu'on fait fondamentalement la même chose que lorsqu'on pose une division de nombres aide pas mal !!

Posté par
Riley
re : Division avec x 12-06-15 à 12:18

Merci, je crois avoir compris, alors j'ai essayé avec x3+ 4x2- 2x - 5    divisé par     x + 2

donc


x^3+4x^2-2x-5   /   x+2

x^3=x*x^2          (x^2)



-x^3-2x^2
x^3-x^3=0
4x^2-2x^2=2x^2



2x^2-2x-5          x
2x^2=x*2x
-2x^2-2x
2x^2-2x^2=0
-2x-2x=-4x

-4x-5              1
-4x=x*-4
4x-2
4x-4x=0
-2-5=-7

Reste -7

Posté par
Riley
re : Division avec x 12-06-15 à 12:21

J'ai du me tromper quelque part car je pense pas qu'on puisse avoir quelque chose de négatif

Posté par
mathafou Moderateur
re : Division avec x 12-06-15 à 12:32

non.

2x^2-2x-5 divisé par x+2
c'est \small \red 2x, pas x

2x fois (x+2) = 2x^2 + 4x (l'objectif est d'avoir ces trucs soulignés identiques, et ensuite une fois qu'on a le facteur correct (2x) qui assure ça il faut tout de même faire un développement correct !)

etc

mais la présentation graphique sous forme d'une division posée est tout de même infiniment plus parlante !!!

Posté par
mathafou Moderateur
re : Division avec x 12-06-15 à 12:37

Citation :
je pense pas qu'on puisse avoir quelque chose de négatif

dans une division de polynomes, les coefficients sont dans aussi bien négatifs que positifs,
le reste est ici le polynôme de degré 0 P(x) = -7, le terme constant de ce polynome (et le seul puisqu'il est de degré 0) est -7, et alors ? aucune importance qu'il soit < 0
(enfin, avec le calcul faux effectué, à remplacer par le bon résultat)

Posté par
Riley
re : Division avec x 12-06-15 à 13:11

d'accord, donc en modifiant cela devient:
x^3+4x^2-2x-5   /   x+2

x^3=x*x^2          (x^2)



-x^3-2x^2
x^3-x^3=0
4x^2-2x^2=2x^2



2x^2-2x-5          2x
2x^2=x*2x
-2x^2-4x
2x^2-2x^2=0
-4x-2x=-6x

-6x-5
-6x=x*-6             -6
6x+12
6x-6x=0
12-5 = 7
il reste 7

Je me demande si je m'embrouille pas avec les signes

Posté par
mathafou Moderateur
re : Division avec x 12-06-15 à 13:46

quand on a des doutes sur un calcul long, il est toujours intéressant de vérifier le résultat

tu as obtenu que le quotient est x^2 + 2x - 6 et le reste 7

c'est à dire qu'on doit avoir
x^3+4x^2-2x-5 = (x+2)(x^2 + 2x - 6) + 7
il n'y a qu'à développer et simplifier pour voir si c'est vrai.


le problème avec tes craintes sur les signes est qu'en opérant de la façon dont tu le fais (avec des détails inutiles qui noient le poisson) tu finis par ne pas développer correctement -6(x+2) en 6x +12 alors que ça fait -6x - 12
et que effectivement retrancher -6x-12 à -6x-5, c'est bien pareil que ajouter 6x+12 à -6x et à -5 et donc tu retombes sur tes pieds, sans avoir compris pourquoi.

Posté par
jeveuxbientaider
re : Division avec x 12-06-15 à 15:27

Réponse :

\begin{array}{cccc|c}x^3&+4x^2&-2x&-5&x+2\\\cline{5-5}-x^3&-2x^2&&&x^2+2x-6\\\cline{1-4}&+2x^2&-2x&-5&\\&-2x^2&-4x&&\\\cline{2-4}&&-6x&-5&\\&&+6x&+12&\\\cline{3-4}&&&7&\\\end{array}

Posté par
Riley
re : Division avec x 12-06-15 à 15:30

C'est vrai que c'est plus propre comme ça, quel logiciel as-tu utilisé pour l'écrire?

Posté par
carpediem
re : Division avec x 12-06-15 à 16:14

salut

x^3 + 4x^2 - 2x - 5 = x^2(x + 2) - 2x^2 + 4x^2 - 2x - 5 = x^2(x + 2) + 2x^2 - 2x - 5 = x^2(x + 2) + 2x(x + 2) - 6x - 5 = \\ (x^2 + 2x)(x + 2) - 6(x + 2) + 7 = (x^2 + 2x - 6)(x + 2) + 7

....

Posté par
Riley
re : Division avec x 12-06-15 à 16:15

Merci pour votre aide à tous, une dernière petite chose auriez-vous le lien d'un cours expliquant comment factoriser un polynôme de degré 4 ?

Posté par
jeveuxbientaider
re : Division avec x 12-06-15 à 17:11

Ce que j'ai répondu à 15h27 a été écrit en LaTeX , voir le code en cliquant sur le petit carré à gauche de la date et heure.

Et pour l'utilisation du LaTeX, il y a le tutoriel ( le   dans le bandeau du haut)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Division avec x 12-06-15 à 17:51

le tutoriel de l'ile est largement insuffisant pour comprendre comment écrire des tableaux avec des bordures (traits) de positions et longueurs diverses
mébon le source du message est explicite et donne envie d'en savoir plus (avec une vraie doc sur LaTeX)

la méthode indiquée par carpediem est celle que je proposais déja dans mon message du 11-06-15 à 14:02

Citation :
une méthode qui est formellement équivalente à la division Euclidienne "posée", qui consiste à faire apparaitre de proche en proche les facteurs (x+2)

x3 + 4x2 - 2x - 5 =
x2(x+2) - 2x2 + 4x2 - 2x - 5 =
x2(x+2) + 2x2 - 2x - 5 =
x2(x+2) + 2x(x+2) - 4x - 2x - 5 = ...



pour factoriser "en général" des polynômes de degré > 2 (3 ou 4 voire plus) il y a la seule méthode un tant soit peu valable de trouver des "racines évidentes" (des valeurs simples genre 1 2 etc) qui annulent le polynôme
et si est une telle racine alors le polynôme peut se factoriser par (x-)
et la façon la plus rapide d'obtenir le quotient (= un polynôme de degré inférieur de 1) est ...
d'effectuer la division Euclidienne (voir ci dessus) de P(x) par (x - )
le reste est forcément nul (ce qui permet de vérifier la division !) puisque P() = 0

et on recommence encore et encore jusqu'à obtenir un polynôme du second degré qu'on sait factoriser (cours sur le trinôme)

il y a aussi des cas particuliers (polynômes symétriques, les valeurs des coefficients sont symétriques) etc

pour les polynômes de degré 3 et 4 il existe des méthodes "valables quoi qu'il arrive" par les formules de Cardan et Ferrari par exemple
mais qui sont inutilisables en pratique (car font intervenir des expressions avec des racines cubiques de nombres imaginaires, même si toutes les racines du polynôme sont réelles !!

au niveau Terminale donc la factorisation de polynômes de degré 3 et 4 est donc uniquement
- soit guidée par les questions précédentes de l'exo ("en déduire une factorisation")
- soit par l'utilisation de racines évidentes du polynôme
racines évidentes qui sont le plus souvent même suggérées dans l'énoncé :
"montrer que P(-2) = 0, en déduire une factorisation"

Posté par
carpediem
re : Division avec x 12-06-15 à 17:59

pour résumer ce que vient de dire mathafou ::

il y a ceux qui pose une division ... et ceux qui l'écrivent ....

sur un forum je préfère l'écrire ... pour ne pas me faire c... avec LaTeX .... voir à 15h27 et à 16h14 ...



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