Bonjour,

On peut montrer que    où  

... et que si et sont premiers entre eux,   .

Grand Merci Lake!

Je planche là-dessus et vous reviens dans une vingtaine.

A+

...d'année

Bonjour Lake!

J'ai finalement trouvé la solution mais je saute une étape en considérant immédiatement que le PGDC de a et b , ici noté (a,b) = 1.

Comme ( a^m - b^m , aⁿ - bⁿ ) = d

a^m   b^m (mod d) et   aⁿ   bⁿ (mod d).


Par l'identité

           a^k - b^k = ( a - b ) ( a^k-1 + a^k-2 b + a^k-3 b²+ …+a b^k-2 + b^k-1)

on montre que  a^(m,n) - b^(m,n) | d.


Comme (a,b)= 1 ( a,b^p)=1 et ( a, a^p + b^p)=1 (a,d)=1 et idem pour (b,d) = 1.

{Explication, par l'identité d'Euler b^(a)   1 (mod a) et de celle de Bézout    ax + by = 1, b^(a)= q a +1
x =-q  et  y= b^(a)-1.}

Donc
b^(d)    a^(d)   1 (mod d) a^mx b^mxa^ny b^ny 1(mod d).

Par Bézout    mx + ny = (m,n)

a^(m,n) = a^mx+ny 1 (mod d) b^(m,n) = b^mx+ny

a^(m,n) - b^(m,n) 0 (mod d)

Donc          a^(m,n) - b^(m,n) = d.

CQFD et Ouf!

À partir d'ici, la question des congruences en modulo 12 c'est du gâteau!

P.S.

Mon cher Lake,  comme vous pouvez le constater, je n'ai pas suivi la voie que vous m'avez indiquée et cela m'intrigue particulièrement l'enchaînement à la seconde étape. Pouvez-vous m'éclairer?

salut

bof ... pas certain que ça marche ... enfin peut-être ...

soit m = qn + r la division euclidienne de m par n



si n > 1 alors 3^n - 2^n est impair donc ne peut diviser (2^n)^q
de plus r < n donc 3^n - 2^n ne divise pas non plus 3^r - 2^r

donc 3^n - 2^n divise 3^m - 2^m si et seulement si n divise m

Salutations  à Carpediem.

Bof mon oeil!

En plein dans le mille en une seule ligne!
(et probablement les doigts dans le nez)

Chapeau bas!

Bof!Bof!Bof!
(Applaudissements avec les mains dans des mitaines, c'est très l'hiver ici)

quand je disais bof... je parlais de ta démo ...

je n'ai pas compris ton histoire de modulo 12 : que veux-tu dire par là ?

oui c'est vrai je voulais te demander dans quelle région (en gros) tu te trouves ?

Bonjour à tous, au chaud ou au froid
Oui, bien vue l'idée de la division euclidienne de m par n . Mais surtout la transformation de 3^m-2^m

Ne faut-il pas préciser 3ⁿ - 2ⁿ est impair donc premier avec (2ⁿ)^q ?

ouais si on veut ... c'est plus fort

mais en fait il y a équivalence vu la forme de (2^n)^q car en fait tout diviseur de (2^n)^q est pair (puisque puissance de 2)

Salut!

Hiver exceptionnel au Québec. Littéralement enfouis sous une masse de neige et c'est froid (dans les -20C ce matin). Pour les congruences en modulo 12, la différence des puissances donne soit un 7 (mod 12) ou un 5 (mod 12), le résultat de la division donne donc ±1 (mod 12). C'est tout.  

A+

@carpediem,
J'ai bien compris que 3ⁿ - 2ⁿ est premier avec (2ⁿ)^q .
Je voulais dire que c'est utile pour justifier 3ⁿ - 2ⁿ non diviseur du produit (3^r - 2^r)(2ⁿ)^q .

L'entier 6 ne divise ni 14 ni 15, mais il divise 1415

@Lochenmeteo,
Il faut demander la création d'un avec mitaines

Sylvieg : non ce n'est pas ça qui compte !!!

3^n - 2^n est impair donc il n'a aucun diviseur pair donc aucun diviseur de 3^n - 2^ne peut diviser (2^n)^q

Lochenmeteo donc on peut dire que chez nous c'est l'été avec un beau ciel bleu, le soleil et un petit 10 °C ...


au moins tu peux aller faire de l'exercice physique pour dégager chez toi


moi je vais quand aller un petit moment au jardin ... histoire de prendre un peu l'air  

Peu! Beau sire! Vos propos me laisse froid!

Salut.

Sylvieg: j'ai bien peur qu'un émoji avec mitaines fasse geler les ordis…

Carpediem: Le développement que tu as présenté répond effectivement à mon interrogation initiale: a|b et a|c sous condition que a est un multiple de a et b. Fort bien! Mais comment prouves-tu formellement que (m,n) est effectivement le PGCD?
(Un peu de matière à réfléchir ou à rigoler pendant que tu humes le doux air de ton jardin.)

ReSalut.
Ne répondez pas à ma dernière question. En ce qui me concerne le sujet est clos!

Gros merci à mes correspondant pour leur patience et leur générosité.

de rien