Bonjour,
En travaillant mon cours sur les polynômes, j'ai coincé au milieu de l'exercice suivant:
n 2, calculer le reste et le quotient de la division euclidienne dans R[X] de par .
En posant P(X) = Q(X) + aX + b où (aX + b) est mon reste, je trouve aisément que le reste est égal à -1 (a = 0 et b = -1). Mais je sèche totalement sur comment déterminer le quotient.
Auriez-vous une piste, une petite astuce pour le déterminer?
D'avance merci.
Si tu poses A = X - 2 et B = X - 3 , tu as :
...(X - 3)2n = (X - 3)(A - 1)2n-1 = B(A - 1)2n-1 = B(AR - 1) où R [X] .
...(X - 2)n = (X - 2)(B + 1)n-1 = A(B + 1)n-1 = A(BS + 1) où S [X] .
Donc P = AB(R + S) - B + A - 2 .
Tu explicites R et S avec des ou des ....
Tout d'abord merci pour vos réponses !
J'y vois déjà un peu plus clairement. Mais pour obtenir Q(X) (quelle que soit la solution que vous me proposez), je suis obligé de diviser par un polynôme et donc Q(X) n'est plus un polynôme; je me trompe?
Bonjour
quand on divise un polynôme par un polynôme, on peut très bien obtenir un polynôme, suffit que le reste soit nul ....
En effet ...
Pour reprendre l'idée de Veleda, je n'arrive pas à aller au bout du raisonnement et à expliciter Q(X), pourriez-vous m'aider s'il vous plait?
on a
je note B_(X) le membre de droite pour alléger l'écriture
en ajoutant membre à membre les égalités dans le membre de gauche d'aprés le principe des dominos il ne reste que deux termes
sauf étourderie
il reste à calculer et la somme du membre de droite
Bonsoir,
Une fois le reste connu,il est facile de donner
une expression de Q(x), pour x <> 2 et x <> 3, sous forme quotient ,
Alain
Merci donc j'ai, sauf erreur de ma part:
et là je suis perdu: pour calculer , il faut que j'ai l'expression de non? Et l'autre partie du membre ne semble pas bien se simplifier ... :/
*Q2c'est le quotient dans la division de par
ou bien tu développes et tu poses la division par
ou bien tu essaies de factoriser
il faut encore mettre en facteur
je trouve Q_2(X)=X2-7X+14 mais je n'ai pas vérifié
*je ne comprends pas ton avant dernière ligne k varie de 2 à n si tu poses K=k-1 alors K varie de 1 à n-1 de plus l'exposant 2k-1 devient 2K+1 K variant de 1 à n-1
non cela n'a pas l'air de se simplifier garde l'expression avec les deux sommes
Bonjour,
Comme le précisait Flight :
,
Il n'y a pas ici de problème de division par zéro,
Q(x) est un polynôme de degré 2n-2,
Alain
Merci beaucoup pour vos réponses.
Je trouve bien: en développant puis en effectuant la division euclidienne de par .
Je me suis en effet trompé lors du changement d'indice. Puis-je donc conclure que:
? Car je ne vois pas comment simplifier l'expression ...
Pour Alainpaul et Flight, au tableau, j'avais également immédiatement fait ceci, mais ma prof m'a dit que c'était impossible ... c'est la raison pour laquelle j'ai demandé de l'aide.
Bonjour,
Il s'agit donc de trouver .
Posons
Comme le terme constant est nul, on peut commencer les sommes à et diviser par :
On revient à :
>>bonjour frenicle
c'est plus joli mais je n'ai pas le courage de torturer l'expression trouvée avec Gologo pour voir si c'est bien la même chose
salut
P(x) = [(x - 3)2]n - 1 + (x - 2)n - 1 = [(x - 3)2 - 1]0n-1 (x - 3)2k + (x - 2 - 1)0n-1 (x - 2)k = (x - 2)(x - 4)[1 + (x - 3)20n-2 (x - 3)2k ] + (x - 3)[ 1 + (x - 2)0n-2 (x - 2)k ] = (x - 2)(x - 4) + x - 3 + (x - 2)(x - 3)[(x - 3)(x - 4) (x - 3)2k + (x - 2)k ] = (x - 2)(x - 3) - 1 + (x - 2)(x - 3)[ ... ] = (x - 2)(x - 3) [ 1 + ... ] - 1
est la division euclidienne du polynome P par (x - 2)(x - 3)
....
> veleda
Je vous remercie pour vos réponses: j'ai bien compris les différentes méthodes et je vais vérifier de mon côté si les résultats concordent.
Encore merci !
>>Gologo
en reprenant l'expression trouvée je constate un décalage d'indice (désoléeon a utilisé au départ au lieu de
En effet, et je n'aboutissais par ailleurs pas au même résultat en triturant l'expression.
Encore merci, je vais reprendre la comparaison avec la nouvelle expression.
Merci !
est la division euclidienne de P par (x - 2)(x - 3) ...
ce me semble-t-il on trouve la même chose ...
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