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Division euclidienne polynôme
Bonsoir,
Dans un de mes exercices, je dois faire la division euclidienne de Xp par X3-4X mais je suis coincé.
Je sais que Xp=X(X2-4)Q+R avec R=aX2+bX+c
En évaluant en 0 je trouve donc c=0
En évaluant en 2 je trouve 4a+2b=2p
Et à partir de là je suis coincé.
J'ai essayé de dériver le tout, ce qui me donne
pXp-1=(X2-4)Q+X(2X)Q+X(X2-4)Q'+2aX+b
mais même avec ça, je n'arrive pas à trouver a et b en évaluant.
Une dérivée seconde ne m'aide pas non plus.
Quelqu'un a un indice ?
En faisant une étude de cas je trouve quelque chose, mais je ne suis pas sûr.
Voilà ce que j'obtiens :
4a + 2b = 2p
4a - 2b = (-2)p
On a donc
b=2p-1-2a
4a-2(2p-1-2a)=(-2)p
8a=(-2)p+2p
Soit :
a=0 si p impair
a=2p+1 si p pair
Ce qui me permet de trouver :
b=2p-1 si p impair
b=2p-1-2p+2 si p pair
Est-ce que je suis sur la bonne voie ?
En faisant une étude de cas je trouve quelque chose, mais je ne suis pas sûr.
Voilà ce que j'obtiens :
4a + 2b = 2p
4a - 2b = (-2)p
On a donc
b=2p-1-2a
4a-2(2p-1-2a)=(-2)p
8a=(-2)p+2p (évident en ajoutant les deux équations
)
Soit :
a=0 si p impair
a=2p+1 si p pair je ne crois pas !
Oups, j'ai oublié de rediviser par 8.
J'ai donc
a=0 si p impair
a=2p+1/8
Donc b=2p-1-2p+1/4 si p pair.
Non, je ne vois pas comment généraliser tout ça.
non non, c'est bien "math sup"...
alors je m'étonne que la résolution de ce système pose tant de problème 
Oups, j'ai oublié de rediviser par 8.
J'ai donc
a=0 si p impair
a=2p+1/8 (à simplifier
)
Donc b=2p-1-2p+1/4 si p pair. (ça, ça fait 0
)
et si p impair pour b ?
quel bazar
...Je suis parti un peu dans tous les sens pour pas grand chose, c'est vrai...
Merci du coup de main en tout cas !
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