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Niveau maths spé
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Division polynômes

Posté par
Serbiwni
09-04-21 à 00:27

Bonsoir,
Je me propose de déterminer si la proposition suivante est vraie ou fausse :
Soient p et q \in Q[X] deux polynômes de degré supérieur ou égal à 1 et soit g \in Q[X] un polynôme irréductible, unitaire avec deg(g) \geq 1 tel qu'il existe deux polynômes a et b  \in Q[X] avec g = ap + bq. Alors g = pgcd(p,q).

J'ai un peu l'impression que c'est vrai en faisant quelques tests mais je sens que quelque chose cloche avec le fait que l'on soit dans \in Q[X]...

Posté par
Zormuche
re : Division polynômes 09-04-21 à 02:38

Bonsoir

sans hypothèses supplémentaires, on peut faire un contre-exemple :

p = g = X^2-2\qquad q=X \qquad a=1 \qquad b=0

comme g est de degré strictement supérieur à q, il ne peut pas être le pgcd de p et q

Posté par
Serbiwni
re : Division polynômes 09-04-21 à 03:01

*modération* >citation inutile supprimée*

Effectivement, j'ai également trouvé x-\frac74=(\frac18x+\frac14)(x-1)-(\frac18x-\frac12)(x-3) qui semble être un autre contre-exemple.



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