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Niveau maths spé
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Division polynomes sous corps

Posté par
Serbiwni
08-04-21 à 04:36

Bonsoir, petite question pour cet exercice qui me semble trompeur :

Soit E un corps et F ⊆ E un sous corps de E et soient p(x), q(x) ∈ F[x].
Montrer que si p(x) divise q(x) sur E (c.à.d. qu'il existe h(x) ∈ E[x] t.q. q(x) = p(x) · h(x)), alors p(x) divise q(x) sur F (c.à.d. qu'il existe h(x) ∈ F[x] t.q. q(x) = p(x)h(x)).

Au début j'ai tout simplement  eu envie de faire une division euclidienne (p(x) non-nul) : q(x)/p(x) = un polynôme dans F[x] donc h(x) appartient à F[x] et voilà (p(x) et q(x) sont tous les deux dans F[x] donc leur quotient + reste est aussi dans F[x]).
Néanmoins je suis sûr de faire une erreur quelque part. Qu'en pensez-vous ?

La définition de cette division euclidienne dit : soient f; g \in R[x], deg(g) > 0 et le coefficient dominant de g un élément inversible de R. Il existe q; r \in R[x] uniques tels que f(x) = q(x)g(x) + r(x).
J'ai l'impression d'être en train d'affirmer que le h(x) \in E[x] donné par l'hypothèse de départ est le même que le h(x) \in F[x] donné par la division euclidienne sans prouver qu'il s'agit bien du même polynôme.

Posté par
luzak
re : Division polynomes sous corps 08-04-21 à 08:05

Par unicité de la division euclidienne dans E[X] tu devrais voir facilement que le h obtenu par division dans F[X] est forcément le quotient  de la division faite dans E[X].
De même pour le reste d'où la conclusion.



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