Bonsoir, petite question pour cet exercice qui me semble trompeur :

Soit E un corps et F ⊆ E un sous corps de E et soient p(x), q(x) ∈ F[x].
Montrer que si p(x) divise q(x) sur E (c.à.d. qu'il existe h(x) ∈ E[x] t.q. q(x) = p(x) · h(x)), alors p(x) divise q(x) sur F (c.à.d. qu'il existe h(x) ∈ F[x] t.q. q(x) = p(x)h(x)).

Au début j'ai tout simplement  eu envie de faire une division euclidienne (p(x) non-nul) : q(x)/p(x) = un polynôme dans F[x] donc h(x) appartient à F[x] et voilà (p(x) et q(x) sont tous les deux dans F[x] donc leur quotient + reste est aussi dans F[x]).
Néanmoins je suis sûr de faire une erreur quelque part. Qu'en pensez-vous ?

La définition de cette division euclidienne dit : soient f; g R[x], deg(g) > 0 et le coefficient dominant de g un élément inversible de R. Il existe q; r R[x] uniques tels que f(x) = q(x)g(x) + r(x).
J'ai l'impression d'être en train d'affirmer que le h(x) E[x] donné par l'hypothèse de départ est le même que le h(x) F[x] donné par la division euclidienne sans prouver qu'il s'agit bien du même polynôme.