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DL de (1+1/n)^n

Posté par
harribo 06-09-12 à 23:05

Bonjour il y a un truc que je comprend pas pourquoi si je cherche un équivalent à l'ordre 2 de u_n : \rightarrow (1+\frac{1}{n})^n je trouve pas pareil en fonction de si je passe par la formule (1+\varepsilon (x))^n \sim 1+n*\frac{1}{n}+\frac{n*(n-1)}{2}*(\frac{1}{n})^2= \frac{5}{2}-\frac{1}{2n} et la formule e^{n ln (1+\frac{1}{n})}=e^{n(\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2})}=e^1 e^{-\frac{1}{n}}=e*(1-\frac{1}{n})
Je comprend pas

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : DL de (1+1/n)^n 06-09-12 à 23:20

Bonjour,

ton problème c'est que tu composes à gauche par l'exponentielle ce qui est faux !

contre exemple:

n \sim n+1 mais on n'a pas e^n \sim e^{n+1}

Posté par
LeDinore : DL de (1+1/n)^n 06-09-12 à 23:29

C'est surtout que le DL de (1+)a est valable pour a fixé...  mais par pour n tendant vers l'infini...
Du moins me semble-t-il ...

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : DL de (1+1/n)^n 06-09-12 à 23:32

d'accord avec toi LeDino
Par contre pour ton cas, tu peux composer par la fonction exponentielle puisque si on a la condition \lim (u_n-v_n) = 0 alors on peut composer avec ...

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : DL de (1+1/n)^n 06-09-12 à 23:34

En fait, je viens de me relire et je dis n'importe quoi ... y a même de composition, tu utilises le DL de l'exponentielle en 0 .. désolé pour mes postes inutiles, regarde celui de LeDino

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : DL de (1+1/n)^n 06-09-12 à 23:34

Lire: il n'y a même pas (et désolé pour le flood)

Posté par
LeDinore : DL de (1+1/n)^n 06-09-12 à 23:54

Je dirais plutôt (erreur sur le DL de ton Ln) :

(1+\frac{1}{n})^n = e^{n . ln (1+\frac{1}{n})}=e^{n(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2} + \frac{\epsilon}{n^2})} = e . e^{-\frac{1}{2n} + \frac{\epsilon}{n}} = e*(1-\frac{1}{2n} + \frac{\epsilon}{n})

Avec \epsilon \rightarrow 0   quand    n \rightarrow \infty

Posté par
lolo271re : DL de (1+1/n)^n 07-09-12 à 11:24

j'ajoute que le symbole équivalent est à utiliser pour les équivalents mais pour les DL c'est une égalité

Posté par
LeDinore : DL de (1+1/n)^n 07-09-12 à 11:31

Citation :
j'ajoute que le symbole équivalent est à utiliser pour les équivalents mais pour les DL c'est une égalité...

Bonjour lolo,

Justement à cet égard, c'est assez pénible de trimbaler cet /n alors qu'on sait qu'il ne servira pas à autre chose qu'être une sorte de "garde fou" ou de "jauge" pour situer la profondeur du DL.

N'y aurait-il pas une notation "d'égalité à l'ordre k", qui permettrait d'alléger l'écriture.
Une sorte d'équivalent pour DL précisant l'ordre...

Posté par
lolo271re : DL de (1+1/n)^n 07-09-12 à 11:37

on peut toujours "remplacer" le   e/n  par un   o(1/n)  si on veut, mais ça n'allège pas grand chose, je ne connais pas de notation plus économique

Posté par
LeDinore : DL de (1+1/n)^n 07-09-12 à 11:47

Merci lolo.
Je m'en doutais...
Effectivement, le o(1/n) n'est pas vraiment "économique" .

En pratique, on a tendance à travailler "au brouillon" sans epsilon...
Et quand on écrit "au propre", on veille à le remettre (si on n'oublie pas) ...

C'est vrai que l'epsilon (ou le "zéro de") oblige à garder un oeil sur le degré du DL et que c'est une sorte de "sécurité logique"...
Mais c'est un peu lourd parfois...

Posté par
harribore : DL de (1+1/n)^n 07-09-12 à 13:04

Merci pour vos réponses,
Je ne savais absolument pas que la première formule ne fonctionnait qu'avec un n fixé, et d'ailleurs je ne comprend pas pourquoi ce serait le cas.
Merci

Posté par
LeDinore : DL de (1+1/n)^n 07-09-12 à 13:46

Parce que si tu arrêtes ton DL à un rang donné, tu laisses tomber plein de termes qui contribueraient à l'ordre 0.
Essaie de développer plus loin, et tu verras qu'à lordre 0 tu reconstitues :  e = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + ... + 1/k! + ...
et idem pour l'ordre 1...

Donc c'est à la rigueur possible d'utiliser la formule, mais tu ne l'as pas fait à fond, d'où le décalage.

Posté par
harribore : DL de (1+1/n)^n 07-09-12 à 13:59

Merci pour cette très bonne réponse, j'ai compris

Posté par
LeDinore : DL de (1+1/n)^n 07-09-12 à 18:34

Merci pour ce très bon "merci" .


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