Inscription / Connexion Nouveau Sujet
dm
On considère l'application
1)Montrer que l'application f est linéaire.
2)Montrer, sans faire de calcule ,que f n'est pas surjective.
3)est elle injective?
4)donner le rang de f.
5)déterminer une base de Im(f)
6) determiner un supplement de Im(f) dans R3
7) Determiner une équation caracteristique Im(f)
1) Sait (x,y) et (x',y') dans R
On a f((x,y)+(x',y')=f(x+x',y+y')
=(x+x'+y+y', x+x'-(y+y'),x+x'+2(y+y')
=(x+y+x'+y' , (x-y)+(x'-y'), x+2y +x'+2y')
=(x+y,x-y,x+2y) +( x'+y',x'-y',x'+2y')
f((x,y))+f((x',y'))
soient dans R et (x,y) dans R²
f((x,y)
f est une application linéaire
3)pour savoir si elle est injective je calcule ker (f)
c'est bizzar l'egalité existe ssi x=0 et y=0
4)le rang de f est égal a Im(f)
dim(R²)=dim(ker(f))+dim(im(f))
2=dim.................
on a ker(f)=0R3
x=0 et y=0
apres je sais pas comment faire pour trouver dim(ker(f))
***Merci de choisir un titre plus explicite la prochaine fois***
Pour la question 1, tu aurais pu te contenter de remarquer que les coordonnées de l'image sont des combinaisons linéaires des coordonnées du vecteur de départ : ça suffit à prouver que f est linéaire.
je ne vois pas ta question 2 ?
la 2 j'ai pas fait
je sait que f est surjectif si Im(f)=R3
ou que tout les image admet au moins un antécédent
tu connais la formule du rang, visiblement
penses-tu qu'avec la dimension de l'espace de départ égale à 2, on a l'ombre d'une chance que la dimension de l'espace d'arrivée soit 3 ?
voilà !
on passe à la 3
en quoi est-ce bizarre de ne trouver que le vecteur nul dans le noyau ?Au contraire, c'est bien pratique pour conclure en ce qui concerne l'injectivité de f, non ?
oui c vrais du coup f est injective
4)on sait que le rang de f est égal a Im(f)
dim(R²)=dim(ker(f))+dim(im(f))
d'apres la question presedente on deduit que dim(ker(f)=0
dim(R²)=dim(im(f))
dim(Im(f)=2 donc le rang de f est 2
5) Im(f)={f(x,y)} avec x,y dans R
={(x+y,x-y,x+2y)}
=(x(1.0.0)+y(1,0,0)+x(0,1,0)+y(0,-1,0)+x(0,0,1)+y(0,0,2)
= vect((1.0.0)+(1,0,0)+(0,1,0)+(0,-1,0)+(0,0,1)+(0,0,2))
=vect((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))
donc Im(f)=R3 donc (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) est une base de Im(f)
tu as dit au 2) que l'image ne pouvait pas être IR^3 tout entier ...
d'ailleurs tu as bien dit que le rang de f, autrement dit la dimension de Im f , était 2 ! tu cherches donc une base constituée de deux vecteurs !
indication : les images des vecteurs d'une base de l'espace de départ forment toujours une famille génératrice de l'espace image
calcule f(1,0) et f(0,1), tu auras ta base de Im f
sinon en reprenant ce que tu as commencé : (x+y, x-y, x+2y) = x(1,1,1) + y(1,-1,2) ...
(tu devrais reconnaître des trucs, quand tu auras calculé f(1,0) et f(0,1)...)
f(1,0)=(1,1,1) et f(0,1)=(1,-1,2) on retrouve (x+y, x-y, x+2y) = x(1,1,1) + y(1,-1,2)
c'est une famille de vecteur libre donc (1,1,1) (1,-1,2) est une base de Im(f)
u1= (1,1,1) et u2= (1,-1,2)
En utilisant le théorème de la base incomplète, on va trouver une vecteur
u3 de sorte que (u1,u2,u3,) soit une base deR3. Alors, H=vect(u3) sera un supplémentaire de dIm(f) dans R3. D'après le théorème de la base incomplète, on sait qu'on peut choisir le vecteur u3 parmi les vecteurs de la base canonique. (e1,e2,e3). Donc H=vect(e1) est un supplémentaire de IM+m(f) dans R3
Tu peux partir de (X,Y,Z) est dans Im f si et seulement s'il existe (x,y,z) tel que f(x,y,z) = (X,Y,Z)
tu continues : tu as un système, et tu veux qu'il admette au moins une solution. en écrivant à quelle condition il a au moins une solution, tu vas tomber sur une relation entre X,Y et Z : ce sera une équation caractéristique de Im f( je dis bien une, car il en existe une infinité, par exemple si X+Y = 0 en est une, 2X+2Y=0 en sera aussi une, ainsi que -9X-9Y=0 etc)
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac