Niveau Maths sup

DM a rendre pour la rentrée !

Posté par MarKnopfler (invité) 27-08-05 à 21:07

Bonjour.J'ai déjà un DM à faire alors que la rentrée n'a pas encore eu lieu...et j'ai quelques petits problemes:

Soit Tn(cos (x))=cos(nx) un polynome.ON nous demande d'abord de resoudre Tn(cos (x)) =0 (ca, ca va) et puis d'en deduire que Tn(cos (x)) a n racines réelles et de donner la décomposition de Tn(cos(x)) en facteurs irreductibles.

Pour prouver les n racines je pensais à la formule de Moivre pour prouver que cos (nx) etait egal à un polynome du style cos (x)^n+....mais pour la décomposition....

Si quelqu'un peut m'aider je lui en serai infiniment reconnaissant.D'avance MERCI.

Posté par re : DM a rendre pour la rentrée ! 27-08-05 à 21:35

Bonsoir,

cela me fait vaguement penser au polynome de Tchebytcheff (pas sur de l'orthographe). Une fois que tu as démontrer que tu avais n racines, tu peux factoriser. Je sais plus si il faut démontrer que le polynome $T_n$ est de degré n.

Voili voilà

Charly

Posté par re : DM a rendre pour la rentrée ! 27-08-05 à 23:24

La formule de Moivre indique que Tn(u)=cos(nx) est un polynôme de degré n en u=cosx. La première question permet de trouver les n racines uk=cos((2k-1)pi/2n), pour k=1 à n. Pour x=0 u=1 Tn(1)=1 donc Tn(u)=(u-u1)...(u-un)/a avec a=(1-u1)...(1-un)

Posté par aicko (invité)re : DM a rendre pour la rentrée ! 27-08-05 à 23:26

cos(n+2)x = cos(n+1)x . cos x - sin(n+1)x . sin x

cos nx = cos(n+1)x . cos x + sin(n+1)x . sin x

En faisant la somme membre à membre de ces deux égalités, on obtient:

cos(n+2)x + cos nx = 2. cos(n+1)x . cos x .
Tn+2(x) + Tn(x) = 2x.Tn+1(x).
On conclut avec l'égalité de polynômes:
Tn+2 + Tn = 2X.Tn+1.
avec cette egalité on montre par recurrence que $deg(T_n)=n$
Soit x [-1 , +1].
Posons = Arccos(x)
On a [0 , ]. Alors, pour n N,on a:

cos(n)+isin(n)=(cos+isin) $^n$ $=(cos(arcosx)+isin(arccosx))^n=(x+i\sqrt{1-x^2})^n$
En comparant les parties réelles des deux extrémités de cette chaîne d'égalités, on en déduit

cos(n ) = cos(nArccos x) est une fonction polynomiale de degré n.
cos nArccos x = $Re((x+i\sqrt{1-x^2})^n)$

or
T_n(cosx)=cos(nx)
donc T_n(cos(arccosx))=cos(narccosx)
donc T_n(x)=cos(narccosx)== $Re((x+i\sqrt{1-x^2})^n)$

je te laisse faire la fin avec le binome de newton afin de calculer cette partie reelle

Posté par re : DM a rendre pour la rentrée ! 27-08-05 à 23:47

aicko, tes développements ne donnent pas la factorisation de Tn, qui est ce qui est demandé!
Attention aussi à tes notations au début; si x est l'angle Tn n'est pas un polynôme en x, mais en u=cosx !

Posté par aicko (invité)re : DM a rendre pour la rentrée ! 28-08-05 à 00:26

piepalm, T_n est un polynome
T_n(cosx) est la composée de deux fonctions
et comme l'a dit charlynoodles T_n est le polynome de tchebitchev

Posté par aicko (invité)polynome de Tchebychev 28-08-05 à 00:49

cos(nx) $=Re( (cosx+isinx)^n)$

$T_n(cosx)$ = $cos(nx)=\sum_0^{\frac{n}{2}}(-1)^kC_n^{2k} (cosx)^{n-2k}(1-cos^2x)^k$ = $\sum_0^{\frac{n}{2}}(-1)^kC_n^{2k} (cosx)^{n-2k} (1-cosx)^k(1+cosx)^k=$

donc
$T_n(x)$ = $\sum_0^{\frac{n}{2}}(-1)^kC_n^{2k} (x)^{n-2k} (1-x)^k(1+x)^k=$

juste pour info...

Posté par re : DM a rendre pour la rentrée ! 28-08-05 à 06:49

Merci, je sais également calculer, mais je repète que ce n'est pas la décomposition en facteurs irréductibles demandée par l'énoncé...
Quant à ma seconde remarque, elle indiquait simplement que le fait d"écrire à une ligne cosx et à la suivante Tn(x) pouvait être confus pour le lecteur qui demande de l'aide