bonjour a tous,

soit f continue, dérivabe sur[0;1]. Pour tout x dans [0;1], alors f(x) apparatient aussi à [0;1] et f'(x)<1.
Montrere que l'équation f(x)=x a une solution unique sur [0;1]

merci beaucoup a ceux qui vont m'aider

*** message déplacé ***

Bonjour jpvtt8500,

Soit g(x)=f(x)-x
On a g'(x)=f'(x)-1 < 0 (d'après l'hypothèse f'(x)<1)
donc g est strictement décroissante.
Si x appartient à [0;1]; f(x) appartient à [0;1] donc f(0)>=0.
Supposons f(0)=0. 0 est donc une solution de l'équation.
Sinon g(0)>0.
De même f(1)<=1
Supposons de même f(1)=1. 1 est donc une solution de l'équation.
Sinon g(1)< 0.
On peut donc utiliser le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction g.

@+