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DM, Calcul de cos et sin pi/12

Posté par
emma12336
29-12-13 à 14:54

Bonjour,
Je voulais savoir s'il était possible que l'on m'aide à comprendre et résoudre un exercice que l'on m'a donné à faire en devoir maison.
Voici l'énoncé :


C est le cercle trigonométrique associé à un repère orthonormé direct (O,I,J) du plan.
M est le point de C tel que (vecteur OI, vecteur OM) = /6 (2)

1] Quelles sont les coordonnées de M dans le repère (O,I,J)?

2] Calculer la distance IM.

3]a) Démontrer que IM = 2 X sin /12.

  b) En déduire la valeur exacte de sin /12.

4] Calculer la valeur exacte de cos /12.

5] Déduire des questions précédentes les lignes trigonométriques de :
   11/12 ; 13/12 ; 5/12 et 7/12.

Qu'est-ce qu'une ligne trigonométrique ?
Merci d'avance aux personnes qui prendront un peu de leur temps pour me venir en aide, et joyeuses fêtes de fin d'année à tous !

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM, Calcul de cos et sin pi/12 29-12-13 à 15:06

Bonjour,
1) Il faut vraiment savoir que quand un point M a un angle (OI;OM)=x alors M(cos x ; sin x)
2) ne connais-tu pas une formule qui donne la distance entre deux points dont on connait les coordonnées ?

Posté par
emma12336
re : DM, Calcul de cos et sin pi/12 29-12-13 à 16:36

1) Donc M (cos /6 ; sin /6) ?
2)Je crois que c'est ça non ?

DM, Calcul de cos et sin pi/12

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM, Calcul de cos et sin pi/12 29-12-13 à 16:46

oui (et remplace cos et sin /6 par leur valeur).
Applique la formule alors.

Posté par
emma12336
re : DM, Calcul de cos et sin pi/12 29-12-13 à 17:01

1)M(3/2 , 1/2)

2)(1-3/2)²(0-1/2)²

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM, Calcul de cos et sin pi/12 29-12-13 à 17:15

Simplifie un peu le 2) et puis il y a un + entre les deux facteurs. tu devrais tomber sur \sqrt{2-\sqrt{3}} ou \dfrac{1}{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})

Posté par
emma12336
re : DM, Calcul de cos et sin pi/12 29-12-13 à 17:20

Ah oui j'avais zappé le + ! Oui c'est ça j'ai bon, merci! Est-ce qu'on peut voir pour les questions suivantes ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM, Calcul de cos et sin pi/12 29-12-13 à 17:24

Pour 3, utilise le triangle OIM. Abaisse la hauteur de O sur IM. l'angle HOI vaut donc /12
Que penses-tu du sinus de cet angle ?

Posté par
emma12336
re : DM, Calcul de cos et sin pi/12 29-12-13 à 17:34

sin(IOH) = (IM/2)/OI et sin (/12)=IM/2 donc.. IM=2 sin(/12) ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM, Calcul de cos et sin pi/12 29-12-13 à 17:35

oui très bien.

Posté par
emma12336
re : DM, Calcul de cos et sin pi/12 29-12-13 à 17:38

Pour la 4)? Je ne vois pas très comment on peut résoudre de la même façon que pour le sinus.

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM, Calcul de cos et sin pi/12 29-12-13 à 17:40

utilise cos²x + sin²x = 1 tu connais le sinus, tu peux trouver le cosinus

Posté par
emma12336
re : DM, Calcul de cos et sin pi/12 29-12-13 à 17:53

donc cos²(/12)= 1-sin²(/12)
= 1-[(2(3-1))/4] ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM, Calcul de cos et sin pi/12 29-12-13 à 18:02

je ne vois pas bien ce que tu as pris comme expression pour sin /12 (aucune des deux de mon post de 17:15 ?)
et ou est passé le carré du sinus ?

Posté par
emma12336
re : DM, Calcul de cos et sin pi/12 29-12-13 à 18:10

Je ne sais pas exactement ce à quoi correspond sin(/12), je ne sais pas comment j'ai fait pour trouver ce que j'ai mis dans mon ancien post. On va reprendre depuis le début :
cos²(/12)+ sin²(/12)=1

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM, Calcul de cos et sin pi/12 29-12-13 à 18:12

oui bon début

Posté par
emma12336
re : DM, Calcul de cos et sin pi/12 29-12-13 à 18:13

Donc cos²(/12)=1-sin²(12)

Posté par
emma12336
re : DM, Calcul de cos et sin pi/12 29-12-13 à 18:14

* /12

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM, Calcul de cos et sin pi/12 29-12-13 à 18:23

Et tu vas faire un post chaque fois que tu fais une addition ou une soustraction ?

Posté par
emma12336
re : DM, Calcul de cos et sin pi/12 29-12-13 à 18:35

Non mais je suis bloquée après, je comprends pas par quoi faut remplacer sin (/12)

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM, Calcul de cos et sin pi/12 29-12-13 à 18:38

Par ce que tu as trouvé comme expression quand tu as calculé IM/2 (voir mon post de 17:15)

Posté par
emma12336
re : DM, Calcul de cos et sin pi/12 29-12-13 à 18:46

cos²(/12)= 1-(1/2(6-2))

En le faisant à la calculette je trouve un nombre à virgule assez long, c'est vraiment comme ca qu'il faut calculer ?

Posté par
emma12336
re : DM, Calcul de cos et sin pi/12 29-12-13 à 19:00

Ou alors il faut laisser comme tel peut-être ?
Enfin globalement j'ai compris pour la 4), serait-ce possible de voir pour la 5) ? Merci!

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM, Calcul de cos et sin pi/12 29-12-13 à 19:16

le sinus est au carré. il faut développer et simplifier. et puis c'était IM qui valait \dfrac{1}{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2}) , sin (/12) = \dfrac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2})

cos²(/12)= 1-(1/4(6-2))²= 1-(6+2-262)/16= 1/2+3/4 et donc tout comme on avait
\sin\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2} = \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} on a aussi
\cos \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2} = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM, Calcul de cos et sin pi/12 29-12-13 à 19:18

5) tu connais des formules de trigo genre cos(-x) ? cos (/2+x) etc ...
sinon c'est l'occasion de les réviser ou de les apprendre : Premières formules de trigonométrie

Posté par
emma12336
re : DM, Calcul de cos et sin pi/12 29-12-13 à 19:19

Ah oui exact, merci beaucoup j'ai tout compris !

Peux tu m'expliquer ce qu'est une ligne trigonométrique si tu connais s'il te plaît ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM, Calcul de cos et sin pi/12 29-12-13 à 19:20

ça veut dire les cosinus et sinus de ces angles.

Posté par
emma12336
re : DM, Calcul de cos et sin pi/12 29-12-13 à 19:27

D'accord, merci beaucoup !
Oui je connais toutes les formules de base Mais comment peut-on s'en servir ici ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM, Calcul de cos et sin pi/12 29-12-13 à 19:41

Et bien par exemple cos (11/12) = cos (-/12) = - cos (/12) = -(6 + 2)/4

il faut que tu arrives à chaque fois à te ramener à un cosinus ou sinus de /12

Posté par
emma12336
re : DM, Calcul de cos et sin pi/12 29-12-13 à 20:07

Ah d'accord ! Donc à chaque fois j'utilise la formule cos(-x) ou cos(+x), pareil pour le sinus !

Posté par
emma12336
re : DM, Calcul de cos et sin pi/12 29-12-13 à 21:01

Bon voilà c'est enfin terminé ! Merci beaucoup pour m'avoir accordé autant de ton temps !

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM, Calcul de cos et sin pi/12 29-12-13 à 23:03

ha ben donc tu as trouvé toutes les lignes trigonométriques , même 5/12 ?



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