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DM Centre de gravité d'un triangle, sans coordonnées...

Posté par
Sparkky
28-10-13 à 17:21

Bonsoir, j'ai à faire, pour les vacances, un DM concernant les "barycentres" (si je ne me trompe pas). Le problème étant que mon professeur donne souvent des exercices avant le cours, c'est la première fois que je touche à ce chapitre...

Voici donc l'exercice :

On nous précise que l'on va travailler autour du centre de gravité d'un triangle.
Voici la figure (excusez pour la qualité...) :


DM Centre de gravité d\'un triangle, sans coordonnées...

Voici d'abord l'énoncé :

1. Justifiez l'existence de deux réels xG et yG tels que AG = xG*AC + yG*AB (Tous sont des vecteurs).

2. Déterminez les coordonnées de CC' et BB' (vecteurs) dans le repère (A,B,C).

3. En déduire des équations cartésiennes des droites (CC') et (BB').

4. En déduire la valeur de xG et yG.

5. Conclure que AG = 2/3 AA' (vecteurs).

6. Décomposez BG à l'aide de BA et BC. (vecteurs)

7. Décomposez CG à l'aide de CA et CB. (vecteurs)

8. Conclure que GA+GB+GC = 0 (Vecteurs).

Mon avancement dans ce travail :

A vrai dire, je me dessèche...
Le détail qui me pose le plus de problème étant que l'on ne me donne aucune coordonnées sous forme algébrique...

Pour la 1. j'ai pensé à Chasles, mais je ne vois pas du tout comment appliquer dans le cas présent...

Pour la 2. je suppose qu'il me faut d'abord faire la 1.

Pour la 3. Egalement.

Pour la 4. je sais (en fouillant un peu partout) que xG = 1/3 (xA+xB+xC)
                                                     yG = 1/3 (yA+yB+yC)

Pour la 5. Etant donné que le centre de gravité d'un triangle est situé à 1/3 d'une médiane par rapport à sa base, alors il est situé à 2/3 de la médiane par rapport à son sommet, donc AG = 2/3 AA' (Je pense que c'est formuler très maladroitement, il faut que je revois ça)

Pour la 6. Il faut décomposé un vecteur avec deux autres vecteurs précis, je me suis penché que très rapidement sur cette question, je la trouve un peu difficile mais une fois que j'ai le départ de Chasles je sais comment faire...

Pour la 7. c'est la même chose...

Pour la 8. Aucun problème.

Comme vous pouvez le voir, ce sont essentiellement les premières questions qui me posent un gros problème...
Merci, et bonne soirée.

PS : J'ai hésité à poster ce sujet dans le forum "Vecteurs" ou "Barycentres", j'espère ne pas m'être trompé, je m'en excuse si c'est le cas.

* Océane > image placée sur le serveur de l', merci d'en faire autant la prochaine fois Sparkky *

Posté par
Priam
re : DM Centre de gravité d'un triangle, sans coordonnées... 28-10-13 à 19:54

1. Je pense qu'il s'agit de montrer que le repère (A, B, C) qui va être utilisé est valable. Il en est bien ainsi avec un triangle ABC non aplati, les vecteurs AB et AC étant alors non colinéaires.
2. Les vecteurs AB et AC sont les vecteurs unitaires de ce repère.
On a donc :  A(0; 0)  B(1; 0)  C(0; 1)  B'(0; 1/2)  etc.

Posté par
Sparkky
re : DM Centre de gravité d'un triangle, sans coordonnées... 28-10-13 à 20:02

Merci !

Cependant j'ai un doute quant aux coordonnées des points...
Est-ce que je dois suivre le fait que l'on nomme ce repère (A,B,C) et donc B ( 1;0 )
Ou plutôt en regardant la figure, il semble que B ( 0;1) ?

Posté par
Priam
re : DM Centre de gravité d'un triangle, sans coordonnées... 28-10-13 à 20:47

Oui, c'est vrai, la figure est mal tournée, ou alors on aurait envie de prendre le repère (A, C, B). Mais c'est (A, B, C) qui est imposé.
Tu peux faire une figure avec , plus classiquement, A et B en bas et C en haut.

Posté par
Sparkky
re : DM Centre de gravité d'un triangle, sans coordonnées... 28-10-13 à 21:45

Merci !

Pourrais-je avoir des pistes pour la question 5 SVP ?

Posté par
Sparkky
re : DM Centre de gravité d'un triangle, sans coordonnées... 28-10-13 à 21:55

*Pour la 6 je veux dire, pardon.

Posté par
Priam
re : DM Centre de gravité d'un triangle, sans coordonnées... 28-10-13 à 22:14

6. Exprime d'abord le vecteur BG en fonction du vecteur BB', puis le vecteur BB' en fonction des vecteurs BA et BC.

Posté par
Sparkky
re : DM Centre de gravité d'un triangle, sans coordonnées... 28-10-13 à 22:31

Pour exprimer BG en fonction de BB', il faut considérer que BGB' soit un triangle ?

Posté par
Sparkky
re : DM Centre de gravité d'un triangle, sans coordonnées... 28-10-13 à 23:18

Raaah ça fait 1h30 que je tourne en rond, j'arrive à rien...

Posté par
Priam
re : DM Centre de gravité d'un triangle, sans coordonnées... 29-10-13 à 09:08

6. Tu peux aussi procéder comme suit, en n'utilisant que les relations vectorielles données ou déjà démontrées :
BG = BA + AG (Chasles)
BG = BA + 2/3 AA'
puis décomposition du vecteur AA' pour faire apparaître les vecteurs AB et BC.

Posté par
Sparkky
re : DM Centre de gravité d'un triangle, sans coordonnées... 29-10-13 à 16:54

Et il n'y aucune "simplification" à faire ?

A partir du moment où les vecteurs AB et BC apparaissent, c'est bon ? Même si d'autres vecteurs prennent place dans l'égalité ?

Posté par
Sparkky
re : DM Centre de gravité d'un triangle, sans coordonnées... 29-10-13 à 17:21

Donc :

BG = BA + AG
BG = BA + 2/3 AA'
BG = BA + 2/3 ( AB + BA')
BG = BA + 2/3 ( AB + 1/2 BC)

C'est bon ? :/

Posté par
Sparkky
re : DM Centre de gravité d'un triangle, sans coordonnées... 29-10-13 à 17:29

Oups, désolé du triple post je rajoute quelque chose :

BG = BA + 2/3 AB + 1/3 BC
BG = -AB + 2/3 AB + 1/3 BC
BG = -1/3 AB + 1/3 BC

Right ?

Posté par
Priam
re : DM Centre de gravité d'un triangle, sans coordonnées... 29-10-13 à 18:52

C'est bon. Mets BA plutôt que AB puisque c'est ce qui est demandé dans l'énoncé.

Posté par
Sparkky
re : DM Centre de gravité d'un triangle, sans coordonnées... 29-10-13 à 18:57

Oui, je m'en suis rendu compte après :3.
Merci  !



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