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DM Configurations du plan
Bonsoir à tous!!
Voilà jai un exercice a effectué mais je n'arrive pas à débuter pour chacune des méthodes
Voici l'énoncé:
On considère un triangle ABC. La bissectrice de l'angle  coupe BC en I
L'objectif est de démontrer que: IB/IC = AB/AC
- Méthode 1: Tracer la parallèle à AB passant par C, qui coupe AI en D.
Démontrer que le triangle ACD est isocèle; en déduire l'égalité du début avec Thalès
- Méthode 2: Tracer la parallèle à AI passant par C, qui coupe AB en K.
Démontrer que le triangle ACK est isocèle; en déduire l'égalité du début avec Thalès
- Méthode 3: Démontrer que les triangles ABI et ACI ont des hauteurs parallèles, puis calculer les aires des deux triangles et montrer que:
Aire ABI/AireACI= IB/IC = AB/AC
Voilà les figures pour chaques méthodes sont faites. Mais je n'arrive donc pas à démontrer que les triangles sont isocèles. Pouriez-vous m'aider au plus vite? Merci d'avance!!
- Méthode 1:
angle (DAB) = angle (ADC) comme angles alterne-interne
angle (DAB) = angle (DAC) cat (AD) est bissectrice de l'angle A.
...
pour la méthode 2 on affirme que CAI = KCA car angles alternes-internes mais comment faut-il faire pour savoir la mesure de l'angle CKA?
rappel du cours du 5° au chapitre "2 droites parallèles coupées par une sécante".
2 angles correspondants sont 2 angles non adjacents situés d'un même côté
d'une sécante, l'un entre les 2 droites et l'autre non.
...
Donc cela veut dire que les angles ACK et CKA sont égaux car ils sont correspondants.(la droite CK est la sécante qui les concerne)
Est-ce cela?
D'accord merci pour ces indications, je comprend mieux comment il faut démontrer!!!
Pour la suite avec Thalès je ne vois pas quelle relation il faut écrire pour les deux premières méthodes.
Pouriez-vous m'aider?
pour la 1° méthode, c'est du Thalès dans une figure en "papillon".
AB/CD = IB/IC ... or AC = CD d'où la réponse.
...
Merci pour la première méthode(j'y avais songé mais je doutais) mais pour la deuxième je n'arrive pas à me mettre dans le bon contexte.
Est-ce par rapport aux droites KB et CB sécantes?
C'est bon je pense avoir trouver:
IB/IC = AB/AK
On sait que AK=AC car triangle isocèle
Donc IB/IC = AB/AC
Est-ce cela?
pour la 2°, Thalès également,
mais en utilisant une propriété sur la différences des rapports.
BK/BA = BC/BI
<=> BK/BC = BA/BI = (BK - BA) / (BC - BI) = AK/CI ... or AK = AC
d'où la réponse.
...
c'est ça.
En utilisant : IB/IC = AB/AK
tu utilises directement la propriété sur la différences des rapports.
...
Merci pour toutes ces indications!!! Le sommeil me fait appel!!
Pour la méthode 3 je préférerais le faire demain matin avec vous si c'est possible.
Est-ce donc possible? Si non merci beaucoup d'avoir consacrer votre temps libre pour un sous-doués en maths et à une prochaine fois peut-être sur le forum!!
Ps: la nuit porte conseille.
Ce sera pour demain soir avec moi.
Mais d'ici là d'autres Mâthiliens seront peut-être passés par là.
Bonne nuit.
...
Bonjour me revoici pour la méthode 3.
J'ai effectué la figure et je trouve que la hauteur issue de B est parallèle à celle issue de C car elles sont perpendiculaire a la bissectrice AI.
De plus les hauteurs issues de A sont confondues.
Voilà mon raisonnement y a t'il d'autres hauteurs parallèles entre elles?
Pour la suite j'ai calculé les aires des deux triangles:
Aire ABI = 9,87
Aire ACI = 4,76
J'ai aussi calculé IB/IC et AB/AC
Par contre à la fin je ne trouve pas l'égalité mentionnée dans l'énoncé.
Pouriez-vous me mettre sur la voie pour trouver et finir mon exercice?
Merci d'avance!!
- Méthode 3:
c'est ok pour les //.
Soit h la hauteur issue de A.
Aire(ABI) = 1/2 BI * h = 1/2 AI * AB * sin(A/2)
Aire(ACI) = 1/2 CI * h = 1/2 AI * AC * sin(A/2)
d'où le rapport recherché.
...
PAs de problème sur cette 1° détermination d'aire ?
Soit h la hauteur issue de A.
Aire(ABI) = 1/2 BI * h (1/2 * base * hauteur)
Aire(ACI) = 1/2 CI * h (1/2 * base * hauteur)
...
ok.
maintenant 2° détermination d'aire.
soit h1 la hauteur issue de B dans le triangle ABI
Aire(ABI) = 1/2 * AI * h1
-------- or h1 = AB sin(A/2) d'où :
Aire(ABI) = 1/2 * AI * AB * sin(A/2)
idem dans le triangle (ACI)
...
AB correspond à l'hypothénuse de la relation du sinus et sin(A/2)correspond à la bissectrice ainsi qu'au côté opposé de la relation du sinus qui est égal à h1.
C'est ça malgrès mon charabia?
Avec ces résultats comment démontre t-on que:
Aire ABI/Aire ACI = IB/IC = AB/AC
???
Je ne comprend pas trop.
De plus on a démontré avant que AB/AC = IB/IC donc cela confirme que Aire ABI/AireACI = IB/IC = AB/AC
Je crois que c'est cela. Est-ce bon?
A partir de ça :
Aire(ABI) = 1/2 BI * h = 1/2 AI * AB * sin(A/2)
Aire(ACI) = 1/2 CI * h = 1/2 AI * AC * sin(A/2)
on fait le rapport 2 à 2 :
Aire(ABI)/Aire(ACI) = (1/2 BI * h) / (1/2 CI * h) = (1/2 AI * AB * sin(A/2)) / (1/2 AI * AC * sin(A/2))
........ à simpifier.
...
Ok maintenant je comprend mieux. Merci beaucoup pour vos coups de pouce d'hier et de ce soir. Bonne soirée malgrès la neige et encore un grand merci. A une prochaine fois peut-être sur ce forum!!!!
Merci!!!!
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