bonsoir à tous,
j'ai un devoir sur l'algèbre linéaire à faire mais je ne comprends pas une question , en voilà l'énoncé :
On se place dans l'espace vectoriel E sur des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 3.
1/ Montrer que la famille B'={(x-1)3,(x-1)2(x+1),(x+1)2(x-1),(x+1)3} est une base de E. Ecrire la matrice de passage Q de la base canonique à B'.
2/ Calculer la matrice Q-1 par le procédé que l'on souhaitera. Comment s'écrit le polynôme p=ax3+bx2+cx+d dans la base B'?
3/ Trouver le rang de la famille {x3-1,x3-x,x-1}. Quelle est la dimension du sous-espace vectoriel F de E engendré par ces trois vecteurs? Donner les conditions nécessaires et suffisantes liant les réels a,b,c,d pour que le polynôme p=ax3+bx2+cx+d appartienne à F. Quel nom donne-t-on à ces conditions?
Donc pour la question 1 pas de problème, pour la 2ème j'ai réussi à inverser la matrice mais je ne suis pas sur de réussir la 2ème partie de la question.
Pour la 3ème question, j'ai juste réussi à trouver le rang (enfin je pense que c'est 2) et je ne sais pas du tout faire le reste de la question.
Merci à ceux qui voudront bien m'aider.
Bonjour,
2) p a pour coordonnées (a ; b ; c ; d) dans la base {x3 ; x² ; x ; 1}
Pour les changement de base: Ancien = P * Nouveau
Il faut donc calculer le produit de Q-1 par la matrice colonne (a ; b ; c ; d)
3) Le rang est 2
e1 = x3-1
e2 = x3-x
e3 = x-1
Comme e1 = e2 + e3, le rang n'est pas 3
Il suffit de montrer que e1 et e3 forment un système libre.
On considère la matrice A
| 1 0 a |
A = | 0 1 b |
| -1 -1 c |
p appartient à F si et seulement si e1 ; e3 ; p sont liés
si et seulement si det A = 0
Le nom ? Aucune idée ... (la relation trouvée est une équation de F)
Voilà, sauf erreur
par contre pour la question 2 je ne suis pas sur de comprendre : quand on fait le produit de Q-1 par la matrice colonne (a,b,c,d), qu'obtient t'on?
désolé d'instister mais je ne comprends pas grand chose à l'algèbre linéaire
Soit u un veecteur
Soit (a, b, c, d) les coordonnées d'un vecteur dans l'ancienne base B
Soit (a', b', c', d') les coordonnées du même vecteur dans la nouvelle base B'=(e1, e2, e3 e4)
La matrice Q est composée pour la:
- première colonne, des coordonnées de e1 dans la base B
- deuxième colonne, des coordonnées de e2 dans la base B
- troisième colonne, des coordonnées de e3 dans la base B
- Quatrième colonne, des coordonnées de e4 dans la base B
a a'
b b'
c = Q c'
d d'
et donc
a
Q-1 b
c
d
sont les coordonnées de u dans la nouvelle base.
Exemple (sans les matrices)
Soit B = {1 ; x } base des polynôme de degré inférieur ou égal à 1
B' = {x+2 ; 1} est aussi une base
La matrice Q de passage est:
2 1
1 0
Son inverse Q-1 est
0 1
1 -2
Soit u(a , b) dans B c'est à dire u = a + bx
u = a + bx = a + b (x+2) - 2b
u = b (x+2) + (a-2b)
donc les coordonnées de u dans B' sont (b ; a-2b)
On a bien:
a' a
= Q-1
b' b
Maintenant connaissant les coordonnées de u(a' b') dans la base B' retrouvons les coordonnées dans la base B
u = a' (x+2) + b' = a' x + (2a' + b')
On a bien:
a a'
= Q
b b'
En résumé
quand on fait le produit de Q-1 par la matrice colonne (a,b,c,d), on obtient les coordonnées dans la nouvelle base.
Ancienne coordonnnées = Matrice de passage * Nouvelles coordonnées
Nouvelles coordonnnées = Inverse de Matrice de passage * Anciennes coordonnées
Enfin ... de mémoire
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