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DM de géométrie, produi scalair et angle ds l espace! A l aide!
G 2 exos à rendre : n65p 311 et 67p312 de déclic maths terminale S
si qqn peu maider!
n65 :
On considère deux plans P et L d'équation respectives :
2x-y+z+9=0 et x+y+2z-7=0
Quel est l'angle aigu de ces deux plans?
n67:
on considère les plans P et L d'équation respectives 2x+y-z=0 et x-y+2z=0
1: vérifier que le point A(1 ; 0 ; -3) est équidistant des plans P et L
2: déterminer l'ensemble E des points équidistants des plans P et L
Je bloque complètment, sa srè super sympa de m'aider
gros bisous et merci a tous
Bonjour,
Pour le 1.
Vous déterminez un vecteur normal n1 du plan P et un vecteur normal n2 du plan L.
Ensuite, vous calculez le produit scalaire n1.n2 avec les coordonnées.
Mais comme on sait que n1.n2 = ||n1|| * ||n2|| * cos(n1,n2), vous en déduisez le cosinus de l'angle entre n1 et n2.
L'angle entre les deux plans est le même que l'angle entre les deux vecteurs normaux.
Comme on vous demande l'angle compris entre 0 et 90°, il suffit de calculer cos-1(x), x étant la valeur du cosinus trouvée plus haut.
merci, c'est ske g fè ms le pb c ke l'angle entre les deux plans c pa le mem kentr les vecteurs normaux. enfin jé desiné pr voir et sa col pa
Pour le 67.
Vous pouvez regarder la page 301 de votre livre.
Dans la partie 1.1, vous avez la formule de la distance d'un point de l'espace à un plan.
1) pour la distance de A à P, il faut :
- que vous preniez un point B dans le plan P (n'importe lequel, à vous de choisir les coordonnées)
- que vous déterminiez les coordonnées d'un vecteur normal n de P.
- d(A,P) = | .
| / ||
||
2) Vous faites pareil pour la distance de A à L et vous devez trouver le même résultat pour les deux distances.
Vous dites : l'angle entre les deux plans c pa le mem kentr les vecteurs normaux.
Disons que la méthode que je vous ai donnée vous permet de connaître le cosinus de l'angle (n1,n2).
- Si ce cosinus est positif, l'angle (n1,n2) est aigu et vous prendrez la même valeur pour l'angle entre les deux plans.
- Si ce cosinus est négatif, l'angle (n1,n2) est obtus. Dans ce cas, vous prendrez la valeur 180-(n1,n2) pour l'angle entre les deux plans.
Ex. quand les plans sont perpendiculaires :
Regardez p.302 dans votre livre, on vous dit que deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux, c'est pareil.
ok! merci bcp!
ms keskil fo fair pr le 2) du numéro 67, on la pa fai en cour, c une droite?
Non, ce qu'il faut trouver, ce sont DEUX plans.
Voulez-vous de l'aide ? (car c'est un peu long à expliquer).
oui jveu bien! en+ la distance ke jtrouv au 1 nè pa la mem! jsui desespéré!!
Bon, essayons de clarifier cette première question.
Pour le plan P, quel est
- votre vecteur normal n1 ?
- votre point B appartenant au plan P ?
Pour le plan L, quel est
- votre vecteur normal n2 ?
- votre point C appartenant au plan L ?
n1(2;1;-1)
B(0;1;1)
n2(1;-1;2)
C(1;-1;0)
je trouve pr P : -5/racine de6
et pr L : 7/racine de 6
C'est le point C qui ne va pas. Car si l'équation est x-y+2z=0, alors (1,-1,0) ne satisfait pas cette équation.
Prenez par exemple C(1,1,0).
Donc en prenant ce point C, donnez moi les valeurs des produits scalaires
AB.n1
AC.n2
et des normes
||n1||
||n2||
Vous dites :je trouve pr P : -5/racine de6
Attention, il faut prendre au numérateur la valeur absolue du produit scalaire !
(sinon on peut obtenir une distance négative...)
ok, jmetai trompé à recopier l'équation
AC.n1=5/racine de6 ?
ok merci c bon pr la 1
Vous dites :AC.n1=5/racine de6 ?
AC.n2 = 5
Et par contre, 5/racine(6) est la distance entre A et le plan L.
trouvez-vous maintenant les deux mêmes distances ?
Bon, attaquons la 2).
On va garder les mêmes points B et C.
Si M(x,y,z) est équidistant de P et L, cela signifie que |MB.n1| / ||n1|| = |MC.n2| / ||n2||
D'accord ?
Mais puisque les normes de n1 et n2 sont égales, on peut dire que la condition est que |MB.n1| = |MC.n2|.
D'accord ?
Si oui, donnez-moi les expressions en fonction de x, y et z des produits scalaires MB.n1 et MC.n2
MB.n1=-2x-y-z+2
MC.n2=-x-y+2
nan, c MB.n1=-2x-y+z
jme sui trompé
Et MC.n2 ?? êtes-vous sure ?
pr lotr oci
jtrouv-x+y-2z
Bon, continuons.
Retour sur les souvenirs de valeur absolue.
Si A et B sont deux nombres réels tels que |A| = |B|, que peut-on dire de A et B ?
ben...ils st égaux ou opposés?!
nan jen sai rien du tt
moi jfé -2x-y+z = -x+y-2z
et jtrouv une équation de plan : -x-2y+3z=0
Vous dites : ils st égaux ou opposés?!
C'est juste !
Nous, dans notre problème, on a :
|MB.n1| = |MC.n2|
Et MB.n1 = -2x-y+z et MC.n2 = -x+y-2z
Pouvez-vous donc me donner les relations que vous en déduisez ?
Vous dites : moi jfé -2x-y+z = -x+y-2z
et jtrouv une équation de plan : -x-2y+3z=0
Rappelez-vous : deux nombres dont les valeurs absolues sont égales sont soit égaux (c'est ce que vous avez fait) soit OPPOSES...
|-2x-y+z|=|-x+y-2z|
reprenons à votre message : |-2x-y+z|=|-x+y-2z|
Vous disiez |A| = |B| <=> A et B sont égaux OU opposés.
Quelles sont donc les DEUX relations que vous pouvez déduire sur x, y et z ?
-x-2y+3z=0 ET son opposé?
cmt on fait? c x+2y-3z=0 ?
Vous dites : c x+2y-3z=0 ?
Non cela donnerait la même équation.
Prop. |A|=|B| <=> A = B ou A = -B (c'est à dire A et B sont égaux ou opposés).
Quelles sont donc ces deux relations entre x, y et z.
-3x-z=0 ?
Oui 
Vous obtenez donc deux équations de plan.
P1 : -x-2y+3z=0 (en faisant A = B)
P2 : -3x-z=0 (en faisant A = -B)
Ces deux plans constituent l'ensemble cherché.
On les appelle les plans "bissecteurs" des plans P et L.
On peut montrer que ces deux plans sont ... perpendiculaires (méthode : page 302).
ça vous va ?
merci infinimen! sa me tracassai de pa y ariver, jsui vrèmen content!
merci bcp!
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