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Niveau seconde
DM de Math
Posté par mimille71370
Bonjour à tous,
j'ai un DM de math mais il y a une question que je ne comprends pas. Y aurait-il quelqu'un capable de m'aider ?
Voici l'énnoncé :
Un élève établit la conjecture suivante : Soit a un nombre réel.
Alors a au cube + (a+1)au cube + (a+2)au cube = (a+3)au cube
La question est :
Montrer que l'égalité est vraie si et seulement si 2a au cube - 12a-18=0
Merci d'avance à ceux qui prendront le temps de lire !
Bonjour,
développements et rien que ça
pour développer (a+b)^3 on développe (a+b)^3 = (a+b)^2(a+b) = (a^2 + 2ab + b^2)(a + b) = ...
Bonsoir !
Bizarre que l'on te donne des identités cubiques en seconde mais bon.
Je te donne l'élément fondamentale à connaître,
Je te fais l'exemple avec
Calcule moi maintenant et
la seule identité remarquable à savoir est (a+b)2
Connaitre à l'avance le développement de (a+b)3 n'est pas indispensable : on doit savoir développer n'importe quel produit
(c'est comme j'ai dit)
Attention, la question demande de démontrer que a³+(a+1)³+(a+2)³=(a+3)³ SI EST SEULEMENT SI 2a³-12a-18=0. Donc c'est une équivalence, il faut donc démontrer la propriété et la réciproque. Donc dans un premier temps, on montre que si a³+(a+1)³+(a+2)³=(a+3)³ alors 2a³-12a-18=0 puis si 2a³-12a-18=0 alors a³+(a+1)³+(a+2)³=(a+3)³ .
et alors ?? on s'en fiche si les transformations effectuées sont enchainées d'un bout à l'autre par des équivalences.
exemple du même genre :
(a+1)² + (a+2)² = (a+3)² [ A ]
montrer que A est vraie si et seulement si a² - 4 = 0 [ B ]
(a+1)² + (a+2)² = (a+3)² [ A ]
a² + 2a + 1 + a² + 4a + 4 = a² + 6a + 9 [ C ]
a² - 4 = 0 [ B ]
on peut mettre autant d'étapes que l'on veut si on veut détailler à outrance tous les calculs terme par terme si ça nous chante
c'est une chaine d'équivalences et au final
A C D E ... B
donne A B
sans qu'il soit besoin de se torturer les méninges pour justifier à chaque étape (avec ZFC, la théorie de ensembles, la définition formelle de l'opération d'addition etc 
)
que a = b
équivaut à
a + x = b + x
etc.
les seuls cas où cette chaine d'équivalence serait peut-être brisée est si on était amené à multiplier ou diviser les deux membres par un truc inconnu (qu'il faudrait alors ajouter comme non nul dans les hypothèses)
Effectivement ! Si on travaille avec des équivalences il n'y a pas de soucis. Mais en toute rigueur soit on travaille avec des équivalences, soit on démontre la propriété et la réciproque !
je n'ai jamais vu personne qui pour démontrer une telle équivalence d'expressions algébriques écrirait les calculs deux fois !
sur mon exemple qui démontrerait d'abord que
si (a+1)² + (a+2)² = (a+3)², alors a² - 4 = 0
démonstration :
(a+1)² + (a+2)² = (a+3)²
donc
a² + 2a + 1 + a² + 4a + 4 = a² + 6a + 9
donc
a² - 4 = 0
et réciproquement
si a² - 4 = 0, alors (a+1)² + (a+2)² = (a+3)²
démonstration :
a² - 4 = 0
donc (en ajoutant a² aux deux membres, 6a au deux membres, etc, séparant en morceaux 6a en 4a + 2a etc ..)
a² + 2a + 1 + a² + 4a + 4 = a² + 6a + 9 (personne n'irait sincèrement imaginer une telle transformation "à priori arbitraire")
donc
(a+1)² + (a+2)² = (a+3)²
Oui oui je suis d'accord, ici la démonstration est simple, mais j'ai parlé de propriété et de réciproque, pour expliquer ce qu'est une équivalence, qui est ici présente. Mais je totalement d'accord, qu'ici, on peut être beaucoup plus rapide !