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DM de math aire de baignade
Bonjour,bonsoir je demande l'aide de quelqu'un pour m'aider a résoudre ce dm sur les aires de baignade.
Enoncé :
Un maître nageur dispose d'un cordon flottant de 340m de long.
Il veut délimiter un rectangle de manière à ce que l'air de baignade soit la plus grande possible.
Comment doit-il disposer le cordon?
le shéma : http://pedagogie.ac-toulouse.fr/math/images/***
lafol > lien supprimé, fais l'effort d'héberger ton image sur le forum, basthollow
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Merci,
Cordialement. 
Bonsoir,
De toutes les surfaces celle qui a le plus
petit périmètre est le cercle '(voir la réciproque)
Mais ici on veut un "rectangle"
Je te conseille un beau carré de coté 85m
Je trouve que l'énoncé n'est pas très clair, a-t-on le droit d'utiliser les bords du rectangle noir de ton schéma comme bords de l'aire de baignade?
Bonjour,
Il faut comme je l'ai dit faire un carré de 85 m de coté
(le maître-nageur ne va pas couper son cordon)
Bonjour,
sur la figure le cordon est figuré par les traits bleus
(nota : la figure doit obligatoirement être hébergée ici même pas via une adresse web ailleurs)
clairement le cordon sert à délimiter trois côtés du rectangle, le 4ème étant le rivage
il faut écrire des équations qui aboutissent à exprimer l'aire en fonction de la largeur "x" du rectangle
et trouver le maximum de cette fonction
je doute que le problème tel que posé soit du niveau 3ème !!
(utiliser un tableur ? quoi d'autre ? guider pour découvrir ce qu'on appellera l'année prochaine "la forme canonique" ?)
"pour mon frère" pour ton [i]grand[/i ]frère qui est en seconde, voire même en première ??
ce serait plutôt à lui de poster pour avoir de l'aide, directement à son niveau
et pas avec un niveau annoncé de 3ème !!
On aboutit à une solution qui est non pas un carré mais un demi-carré (largeur = la moitié de la longueur)
le coup du "le rectangle de périmètre donné qui a la plus grande aire est un carré" (théorème vu absolument nulle part en collège ni même en lycée, ne parlons même pas du cas "de forme quelconque" où c'est un cercle) ne s'applique pas ici parce que ce n'est pas la périmètre qui est donné, mais un morceau de ce périmètre : 3 côtés seulement.
pour l'utiliser tout de même, et donc résoudre le problème sans aucun calcul, il faut imaginer que le cordon a une longueur double et qu'on en met la moitié dans l'eau (l'aire de baignade) et l'autre moitié sur la terre ferme, exactement symétrique.
alors l'aire totale baignade + terre ferme est un rectangle de périmètre donné, le double du cordon, son aire maximale (= le double de l'aire de la baignade) sera alors quand il est un carré, et l'aire de la baignade en sera la moitié.
terminé.
Bonjour,
Spécialement pour mathafou
1/Si il y a un "rivage" cela change le raisonnement
2/Si je le dis c'est que je l'ai appris dès mon enfance.
2bis/
Entre-temps j'ai su le démontrer:
soit un carré de coté a
nous avons un périmètre de 4 a et une surface a²
créons un rectangle a+d et a-d
nous aurons un périmètre e 4 a et une surface de a²-d²
Suite pour basthollhow.
Fort de cette connaissance et sachant qu'il
y a un coté en "dur",le calcul supprime ce coté.
Donc il en reste 3 et notre maître baigneur
fera un "carré" de 113m33 de coté .
La surface de baignade 113.33²soit 12844 m²44
(plus d'un hectare) ce sera le maximum
1) le "rivage" (ou "bord") est une "hypothèse raisonnable" compte tenu que seulement 3 côtés du rectangle sont effectivement dessinés sur la figure de l'énoncé !
si c'était "en pleine mer" (les 4 côtés réalisés avec le cordon) les 4 côtés auraient été très certainement dessinés !
2) je ne nie pas que tu le saches, et même que tu saches le démontrer 
mais cette propriété est inutilisable "juste en la citant" dans un exercice, sauf à la démontrer effectivement dans cet exercice, ce qui est ... justement ce que demande de faire l'exercice !!
(modulo le coup du rivage)
Bonjour
plutôt un rectangle de grand côté 170m et de petit côté 85m : ça a une aire de 14 450 m², bien supérieur au "maximum" de dpi ....
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lafolmais pourtant déja dit :
pour l'utiliser tout de même, et donc résoudre le problème sans aucun calcul, il faut imaginer que le cordon a une longueur double et qu'on en met la moitié dans l'eau (l'aire de baignade) et l'autre moitié sur la terre ferme, exactement symétrique.
alors l'aire totale baignade + terre ferme est un rectangle de périmètre donné, le double du cordon, son aire maximale (= le double de l'aire de la baignade) sera alors quand il est un carré, et l'aire de la baignade en sera la moitié.
on cherche a maximiser l'aire de BB'C'C délimitée par un cordon de 2*340 = 680m
ce maximum est alors pour BB'C'C = un carré de côté BC = 680/4 = ... 170m !
Suite
En appelant L la seule longueur et l les 2 largeurs
on a un système :
340 = L+2l soit l=(340-L)/2= 170-L/2
et S= lxL soit L(170-L/2)=170L-L²/2
Le maximum est pour L=170
je doute que le problème tel que posé soit du niveau 3ème !!
(utiliser un tableur ? quoi d'autre ? guider pour découvrir ce qu'on appellera l'année prochaine "la forme canonique" ?)
"pour mon frère" pour ton grand frère qui est en seconde, voire même en première ??
ce serait plutôt à lui de poster pour avoir de l'aide, directement à son niveau
et pas avec un niveau annoncé de 3ème !!
on peut "en 3ème" (sans invoquer des théorèmes exotiques) faire comme ça :
je pose x la largeur alors la longueur est 340 - 2x (deux largeurs "x" + une longueur = 340, donc longueur = 340 - 2x, rien de plus à dire)
"x" pour éviter au maximum des variables "l" (L minuscule) qui se confondent trop facilement avec des "1" (un)
et l'aire S = x(340 - 2x) = 340x - 2x²
mais pour la suite, deux méthodes en 3ème
soit faire un tableau de valeurs (calculette, tableur)
et "observer" pour quelles valeurs de x on obtient un maximum (réponse du genre "le maximum est pour x à peu près égal à" etc)
soit être un petit génie qui a deux classes d'avance et qui sait ce qu'est une forme canonique, ou bien qui l'a réinventée lui-même (doit drôlement s'ennuyer en classe celui-là) :
on remarque que
donc
un carré
0, on aura toujours avec égalité si
ça ne s'invente pas, et ne peut se faire en 3ème que si dans l'énoncé même on demande par une suite de questions explicitement indiquées :
"montrer que ceci, cela"
qui aboutissent à ces calculs là.
en dehors de calculs de cette sorte, ou d'invoquer un théorème exotique ou des connaissances de première sur les polynômes du second degré, rien ne permet d'affirmer que le maximum de
les deux termes varient en sens inverse !! comment varie donc leur différence ? à priori mystère et boule de gomme !
il faut soit effectuer des calculs sérieux comme ci-dessus, soit invoquer l'expérimentation avec un tableur ou du même genre.
les deux termes varient dans le même sens !! comment varie donc leur différence ? à priori mystère et boule de gomme
(les termes sont 170L et L²/2)
ou :
les deux termes varient en sens inverse !! comment varie donc leur somme ? à priori mystère et boule de gomme
(les termes sont 170L et -L²/2)
Bonjour,
Il est vrai que trouver le sommet d'une parabole
n'est pas à son programme (forme canonique).
Mas ici on trouve facilement car la courbe est
symétrique avec un départ à (0;0), donc son sommet
est au milieu de (0;340)
ça c'est parce que tu sais ce que sont les paraboles qui ne sont pas au programme de 3ème non plus, ni leur propriétés de symétrie.
il n'y a pas de méthode simple et valide en 3ème à part l'expérimentation (tableur) ou des calculs dignes d'un "petit génie" qui connait ou est capable d'imaginer seul le programme de seconde, voire même de première, ou d'inventer et de prouver des "lemmes" comme "le rectangle de périmètre donné ayant la plus grande aire est un carré"
là aussi la démonstration est, comme pour la forme canonique, compréhensible au niveau 3ème, mais aucun 3ème ne pourrait en avoir l'idée seul :
si encore ces calculs étaient guidés par une succession de questions explicites dans l'énoncé .. mais non.
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