Bonjour,

Alors voilà, je dois faire un DM de maths pour très prochainement et je bloque sur un des exercices. Voici l'énoncé :

Soit f la fonction définie sur R par:

f(x)= e^x - (x+1)

A) étudier mes variations de f et en déduire que pour tout réel x,  1 + x ≤ e^x

B) Démontrer que pour tout réel x < 1, on a : e^x ≤ 1 / (1 - x)
(on pourra écrire l'inégalité du A) pour un réel y quelconque et poser y = -x )

C) a : À l'aide de l'inégalité du A) démontrer que pour tout entier n non nul, (1 + 1/(n))^n≤e

b: En posant x = 1 / (n+1) dans l'inégalité du B) démontrer que :
e ≤ (1 + 1/(n))^n+1
(on vérifiera que, dans ce cas, on a bien l'hypothèse x < 1 )

D) Soit (Un) la suite définie pour tout entier n > 0 par:

Un = (1 + 1/n)^n

a: démontrer que pour tout entier n > 0 :

0 ≤ e - Un ≤ 3/n

b: En déduire que la suite (Un) converge vers e


Merci d'avance pour votre aide.