1)
x³-x²-3x+2 = 0

En remplaçant x par 2, on trouve 0 = 0 -> x = 2 est solution.

On fait alors la division de x³-x²-3x+2 par (x-2)
On trouve un quotient = x²+x-1

L'équation de départ devient:
(x-2)(x²+x-1) = 0

Il y a encore des solution venant de x²+x-1 = 0

x = [-1 +/- V(5)]/2  avec V pour racine carrée.

Les solutions sont donc:

x = 2
x = [-1 - V(5)]/2
x = [-1 + V(5)]/2
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2)
(x²-x-1)/(x+2) >= 2x+3

Il faut x différent de -2.

a) Si x < -2  (1)
on multiplie les 2 cotés de l'inéquation par x+2, mais comme x+2 < 0, cela change le sens de l'inéquation ->
(x²-x-1) <= (x+2)(2x+3)
x²-x-1 <= 2x²+7x+6
-x²-8x-7 <= 0
x²+8x+7 >= 0
(x+1)(x+7) >= 0
-> x dans ]-oo ; -7] U [-1 ; oo[ conviendrait.
Mais il faut tenir compte de (1) et il vient:
x dans ]-oo ; -7[ convient.  (2)

b)
Si x > -2  (3)
on multiplie les 2 cotés de l'inéquation par x+2, mais comme x+2 > 0, cela ne change pas le sens de l'inéquation ->
(x²-x-1) >= (x+2)(2x+3)
...
(x+1)(x+7) <= 0
-> x dans [-7 ; -1] conviendrait.
Mais il faut tenir compte de (3) et il vient:
x dans ]-2 ; -1] convient  (3)

(2) et (3) ->
x dans ]-oo ; -7[ U ]-2 ; -1] convient
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3)
-5x²+3x-1 = 0
Discriminant = 9 - 20 = -11 < 0
et donc -5x²+3x-1 a le signe de son coefficient en x² (soit négatif) quelle que soient les valeurs de x.

-> -5x²-x²+6 <= 0 est réalisé pour tout x de R.
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4)
Poser X = x² (et donc X >= 0)

-X² - X + 6 = 0
-(X-2)(X+3) = 0
X = 2 et X = -3 (à rejeter puisque X doit être >= 0)

-> x² = 2
x = -V2 et x = V2 sont solutions (V pour racine carrée).
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Sauf distraction.

Le dernier.

Supposons 1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(n*(n+1)) = n/(n+1) vrai pour une certaine valeur k de n, on a alors:

1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(k*(k+1)) = k/(k+1)

On ajoute 1/((k+1)*(k+2)) des 2 cotés.

1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(k*(k+1)) + 1/((k+1)*(k+2)) = k/(k+1) + 1/((k+1)*(k+2))
1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(k*(k+1)) + 1/((k+1)*(k+2)) = (k.(k+2)+1)/[(k+1)(k+2)]
1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(k*(k+1)) + 1/((k+1)*(k+2)) = (k²+2k+1)/[(k+1)(k+2)]
1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(k*(k+1)) + 1/((k+1)*(k+2)) = (k+1)²/[(k+1)(k+2)]
1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(k*(k+1)) + 1/((k+1)*(k+2)) = (k+1)/(k+2)

Ceci est la relation 1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(n*(n+1)) = n/(n+1) dans laquelle n = k+1.

On a donc montré que si la relation 1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(n*(n+1)) est vraie pour n = k, elle est vraie aussi pour n = k+1.  (1).
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Pour n = 1, la relation donne: 1/(1*2) = 1/(1+1)
1/2 = 1/2
Donc la relation 1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(n*(n+1)) est vraie pour n = 1.

Comme la relation 1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(n*(n+1)) est vraie pour n = 1, par (1), elle est vraie pour n = 2.
Comme la relation 1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(n*(n+1)) est vraie pour n = 2, par (1), elle est vraie pour n = 3.
Et ainsi de proche en proche, la relation 1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(n*(n+1)) est vraie pour tout n de N*
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Sauf distraction.