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DM de maths sur les fonctions exponentielles
Bonsoir,
J'aimerais avoir votre aide pour un devoir à la maison sur les fonctions exponentielles qui comportent 3 parties.
Voici le sujet:
Soit f la fonction définie sur R par f(x) = e^x.
Soit C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
Soit A le point de coordonnées (1;0).
Le but de l'exercice est de déterminer la position du point M sur la courbe C tel que la longueur AM soit minimale.
PARTIE A: Conjecturer un minimum (cette partie a été traitée à l'aide du logiciel Geogebra)
a) Tracer la courbe (C).
b) Placer un point M sur (C) et tracer le segment [AM].
La longueur de ce segment est indiquée dans la fenêtre Algèbre par la variable a.
On note x l'abscisse de M et d(x) la distance AM.
c) Tracer la courbe d'équation y = d(x) en faisant apparaître le lieu des points de coordonnées (x ; d(x)). Pour cela, taper C=(x(M),a) dans la ligne saisie, puis cliquer droit sur le point C et sélectionner Trace activée; en faisant bouger le point M sur (C) on crée des points de la courbe d'équation y = d(x).
d) En déduire qu'il existe une valeur minimale de d(x) atteinte en un réel x0 d'amplitude 10^-1.
PARTIE B : Etude du signe d'une fonction
On désigne par g la fonction définie sur R par:
g(x) = e^2x + x - 1.
1) Déterminer le tableau de variation de la fonction g en précisant les limites de g en -
et en + . Justifier.
2) Démontrer que l'équation g(x) = 0 admet une et une seule solution 
sur R.
3) En déduire le signe de g(x) selon les valeurs du réel x.
PARTIE C : Un problème de distance
L'objectif de cette partie est de démontrer la conjecture de la partie A à savoir que parmi les points de la courbe C, il y en a un et un seul qui est le plus proche du point A que tous les autres.
1) Soient M un point de la courbe (C) et x son abscisse. On appelle d(x) la distance AM. Exprimer d(x) en fonction de x.
2) Soit h la fonction définie sur R par:
h(x) = e^2x + (x - 1)²
a) Etudier les variations de la fonction h. On pourra utiliser la partie B. On ne demande pas les limites aux bornes de l'ensemble de définitions.
b) Justifier que les fonctions d et h ont les mêmes variations et dresser le tableau de variation de d.
c) En déduire qu'il existe un unique point M0 de la courbe (C) tel que pour tout point M de (C), distinct de M0, on ait AM >AM0.
3) Démontrer que la droite (AM0) est perpendiculaire à la tangente T0 à la courbe (C) au point M0.
Les parties A et B ont déjà été traitées et je m'occupe moi-même de la partie C, mais je rencontre des problèmes dès la première question.
Pour la question 1), j'ai pensé à utiliser la formule de la distance pour exprimer d(x) en fonction de x, soit:
d(x) = 
(xM-xA)² + (yM - yA)²
Ce qui donnerait donc:
d(x) = (x - 1)² + (e^x - 0)²
d(x) = e^2x + x² - 2x + 1
C'est bien cela ?
Pour ce qui est des questions suivantes, je bloque totalement... J'ai beaucoup de difficultés pour ce chapitre.
Merci d'avance pour votre aide !
Salut,
OKpour la question 1 ; tu remarqueras que e2x + x² - 2x + 1 = e2x + (x-1)².
Pour la question 2a , suffit de dériver h. Tu vas retrouver la fonction g de la partie B...
Ah je vois ! Je n'étais pas sûre pour la première, merci !
Donc si je dérive h, j'obtiens:
h'(x) = 2e^2x + 2x - 2
J'ai factorisé par 2:
h'(x) = 2 (e^2x + x - 1)
Ce qui revient à: h'(x) = 2 g(x)
Et puisqu'on sait, grâce à la partie B que g est croissante sur R, alors h est également croissante ?
Et puisqu'on sait, grâce à la partie B que g est croissante sur R, alors h est également croissante ?
taratata...
qu'est ce qui est intéressant une fois qu'on a calculé une dérivée;...c'et son signe
Dans la mesure où h'(x) = 2 g(x) , le signe de h' est bien celui de g , effectivement.
Ce qui justifie l'utilité de la question B3 !
Je n'ai pas fait la partie B moi-même, c'est pour cela que je suis un peu confuse parmi tout ça. Merci ! du coup j'ai trouvé que h est décroissante sur ] -; [ et croissante sur ] ; + [
Pour la question 2)b), il faut étudier d et faire la même chose que précédemment ?
Aussi, j'ai vérifié sur ma calculatrice les variations de h et de d, elles doivent normalement être identiques, mais d est uniquement croissante sur +, je ne comprends pas :/
Tu as d(x) = g(x).
La fonction racine est une fonction croissante, donc la composée de la fonction racine avec la fonction g a les mêmes variations que la fonction g.
D'après ce que j'ai compris, en prenant le cas où d(x) = h(x), la fonction d est la composée de deux fonctions: la fonction h suivie de la fonction racine carrée. Or, la fonction carrée est définie sur l'intervalle ] 0 ; + [, donc la fonction composée d est définie et dérivable sur les intervalles où la fonction h est strictement positive et dérivable.
C'est bien ça pour la question 2)b) ?
D'accord merci ! mais comment je pourrais en déduire alors à l'aide des résultats obtenus dans le 2)a) et b)? :/ je ne vois pas en quoi les deux fonctions h et d m'aident
Oui excusez-moi, mais je ne sais pas si ce que j'ai mentionné au-dessus:
D'après ce que j'ai compris, en prenant le cas où d(x) =
h(x), la fonction d est la composée de deux fonctions: la fonction h suivie de la fonction racine carrée. Or, la fonction carrée est définie sur l'intervalle ] 0 ; + [, donc la fonction composée d est définie et dérivable sur les intervalles où la fonction h est strictement positive et dérivable.
C'est bien ça pour la question 2)b) ?
Tout se mélange, ce n'est pas clair dans ma tête.
ce n'est pas clair car tu contournes toutes tes questions
avant 2b)
qu'as-tu répondu pour 2a) précisément
2) a) Pour étudier les variations de la fonction h, on étudie le signe de sa dérivée h'(x).
La fonction h est dérivable sur R en tant que fonction exponentielle dérivable sur R.
On dérive h(x):
h(x) = e^2x + (x - 1)²
h(x) = e^2x + x² - 2x + 1
h'(x) = 2e^2x + 2x - 2
h'(x) = 2 (e^2x + x - 1)
h'(x) = 2 x g(x)
On sait que 2 est un nombre strictement positif. D'après les résultats obtenus dans la partie B, on a pu déduire à la question B)3) que g(x) est négative sur l'intervalle ] alpha ; +00[
Ainsi, la fonction h est décroissante sur ] -oo ; 0 [ et croissante sur [ O ; +oo [.
(d'où le tableau de variation correspondant)
h'(0) = 2 (e^2x + x - 1) = 2 x e^0 - 2 = 0
2)
On sait que 2 est un nombre strictement positif. D'après les résultats obtenus dans la partie B, on a pu déduire à la question B)3) que g(x) est négative sur l'intervalle ] alpha ; +00[
Ainsi, la fonction h est décroissante sur ] -oo ; 0 [
pourquoi cet intervalle et croissante sur [ O ; +oo [. pourquoi ? je ne connais pas le signe de la dérivée avec ce que tu as écrit
(d'où le tableau de variation correspondant)
h'(0) = 2 (e^2x + x - 1) = 2 x e^0 - 2 = 0
Ah mince, je pensais que h a les mêmes variations que g vu que h'(x) = 2 g(x). Et on a trouvé dans la partie B que g est décroissante puis croissante, donc je pensais que c'était pareil pour h car h(x) c'est 2g(x)
oui, alors un peu de rigueur ne nuirait pas...
signe de g(x)
donc signe de h'(x)
donc variations de h donc de d
D'accord je note, merci beaucoup !
Je ne comprends pas une chose: h et d doivent avoir les mêmes variations, mais on trouve que d est uniquement croissante et h est décroissante puis croissante, donc ce n'est pas les mêmes variations ?
je me f...de d...on verra bien !
fais les questions dans l'ordre, bon sang ! mais fais les vraiment !
Ca y est j'ai compris ce qu'il n'allait pas !! Je me suis trompée au sujet des variations de g, c'était incohérent et c'est pour cela que ça me perdait pour la suite et la compréhension de ces deux premières questions ! Merci beaucoup pour votre aide !
Pour la question 2)c), j'ai bien trouvé le minimum 1.41 en ayant calculer d(0), donc M0( x0 ; (x0) ) soit M0(1.41; e^1.41) car f(x) = e^x
J'ai des doutes, je ne pense pas que ce soit ça
En effet haha, je viens de regarder sur mon propre fichier geogebra et c'est tout simplement M0( 0;1) ! non ? Oui c'est ça, quand a=0 !
Merci beaucoup ! 
Je suis désolée de prendre autant de votre temps pour si peu, mais on a encore pas été confrontés à ce genre de problème en classe. Pourriez-vous m'aider pour la question 3) s'il vous plaît ? Comment peut-on démontrer qu'une droite est perpendiculaire à une tangente ?
coefficient directeur de la tangente
coefficient directeur de (AM0)
ou bien tu connais la condition d'orthogonalité qui utilise les coefficients directeurs, sinon, tu repasses par des vecteurs directeurs de ces deux droites, et produit scaleire
Je sais que le coefficient directeur de T0 est 0. Mais je ne comprends pas quoi faire avec ces coefficients directeurs ? La condition d'orthogonalité, je ne connaissais pas!
Je sais que le coefficient directeur de T0 est 0 faux . Mais je ne comprends pas quoi faire avec ces coefficients directeurs ? La condition d'orthogonalité, je ne connaissais pas! avant la terminale S il y a la première S donc tu connais
Faut dire que ça faisait longtemps qu'on avait pas réutiliser cette règle.
Alors, dire que les vecteurs u et v sont orthogonaux revient à dire que x.x' + y.y' = 0
On applique cette formule: (1) * (0) + (0) * (1) = 0
Donc ces deux vecteurs sont orthogonaux, donc AM0 est bien perpendiculaire à la tangente !
je suis très étonnée de tes coordonnées de vecteurs directeurs
quel est un vecteur directeur de AM0 ? de la tangente en M0 ?
En fait, je me suis trompée. Finalement, j'ai plutôt utilisé une autre méthode: j'ai calculé les coefficients directeurs de la tangente et de la droite (AM0) (comme vous l'avez indiqué) et j'ai utilisé la règle suivante: deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à -1, soit aa' = (-1) x 1 = -1.
Ces deux droites sont donc bien perpendiculaires !
Merci beaucoup pour l'aide que vous m'avez apportée, j'ai pu apprendre de mes erreurs et j'ai pu revoir des notions oubliées !
Au revoir et bonne continuation à vous !
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