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DM de maths sur les suites pas facile...
Bonjour, j'ai besoin d'aide merci d'avance à tous ceux qui pourront m'aider!
Exercice 1 :
Répondre par vrai ou faux aux assertions suivantes :
1. Si (Un) n appartient à N, est une suite géométrique de raison q alors (|Un|)n appartient à N est une suite géométrique de raison q.
2. Si (Un) n appartient à N est une suite bornée, alors ((((-1)exposant n)/ n) * Un)n appartenant à N est une suite qui converge vers 0.
3. lim quand n tend vers +l'infini de ((2n²-(-1)exposant n * n+1)/(n+3)) n'éxiste pas.
Pour les deux assertions suivantes, (Un) et (Vn) sont deux suites réelle définies sur N. Pour tout n appartenant à N, Un > 0.
4. Si lim quand n tend vers +oo de Un = +oo, si lim quand n tend vers +oo de Vn = +oo, alors il éxiste l appartenant à R tel que lim quand n tend vers +oo de (Vn)/(Un)= l
5. Si lim quand n tend vers +oo de Un=O, si lim quand n tend vers +oo de Vn=0, alors il éxiste l appartenant à R tel que lim quand n tend vers +oo de (Vn)/(Un)=l
Exercice2 :
Soient a et b deux réels strictements positifs.
On définit la suite (Un), pour tout entier naturel n, par : U0=a ; U1=b : Un+2=Un+1 + 6Un.
On considère les suites (Vn) et (Wn) définies, pour tout entier naturel n, par Un=Un+1 - 3Un ; Wn= Un+1 + 2Un.
1. Montrer que (Vn) est une suite géométrique de raison -2 et de premier terme V0=b-3a.
Déterminer, pour tout entier naturel n, Vn en fonction de n, a et b.
2. Montrer de même que (Wn) est une suite géométrique et déterminer Wn en fonction de n, a et b.
3. En déduire, pour tout entier naturel n, Un en fonction de n, a et b.
4. Déterminer la limite de la suite (Un).
Exercice 3 :
On considère une suite (Un) négative et la suite (Vn) définie par Vn= (Un)/(1 - Un).
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier dans chaque cas.
1. Pour tout n appartenant à N, -1<ou= Vn <ou= 0.
2. Si la suite (Un) est convergente, alors la suite (Vn) est convergente.
3. Si la suite (Un) est croissante, alors la suite Vn) est croissante.
4. Si la suite (Vn) est convergente, alors la suite (Un) est convergente
salut
1. non soit u la suite geometrique de raison -2 et de premier terme 1
|u| est une suite geometrique de premier terme mais de raison 2 (et non -2)
2 vrai soit M>=|u(n)| pour n>=0
((((-1)exposant n)/ n) * Un)
0=<|[(-1)^n/n]*U(n)|=|(-1)^n/n|*|U(n)|=<M/n
et la suite (M/n) converge vers 0
donc d'apres le theoreme des gendarmes on a ((((-1)exposant n)/ n) * Un) qui converge vers 0
3 je dirais que la limite est +inf (met n^2 en facteur au numerateur et n au denominateur + eventuellement question precedente)
4) non u(n)=n v(n)=n^2
les 2 limites sont +inf et v(n)/u(n)=n qui tend vers +inf.
5) non u(n)=1/n^2 v(n)=1/n
v(n)/u(n)=n et sa tend vers +inf.
exo 2.
tu fais le rapport
V(n+1)/V(n)=[U(n+2)-3U(n+1)]/[U(n+1)-3U(n)]=[-2*U(n+1)+6*U(n)]/[U(n+1)-3*U(n)]= -2*[U(n+1)-3*U(n)]/[U(n+1)-3*U(n)]=-2
V(0)=U(1)-3*U(0)=...
donc V(n)=V(0)*(-2)^n pour tout n dans N.
2) meme chose que 1.
W(n+1)/W(n)=[U(n+2)+2*U(n+1)]/[U(n+1)+2*U(n)]=[3*U(n+1)+6U(n)]/[U(n+1)+2*U(n)]=3
W(0)=U(1)+2*U(0)=b+2a
pour tout n dans N W(n)=(b+2a)*(3^n)
3.Vn=Un+1 - 3Un et Wn= Un+1 + 2Un.
[W(n)-V(n)]/5=U(n)
donc d'apres 1 et 2 pour tout n dans N, on a
U(n)=[(b+2a)*(3^n)-(b-3a)*(-2)^n]/5
4 limite de la suite U ?
U(n+2)=U(n+1)+6U(n) et U(0)=a>0 et U(1)=b>0
donc pour tout n dans N U(n)>0.
[W(n)-V(n)]/5=U(n)
donc W(n)=5*U(n)+V(n).
si U converge vers l reel. alors W tend vers +inf ce qui n'est pas. donc U ne converge pas vers l reel.
si U tend vers +inf non plus car alors W tend vers +inf.
U n'admet donc pas de limite en +inf.
exo 3)
1 vrai
(Un) negative donc (Un)/(1 - Un)=<0
(Un)/(1 - Un)=-1 + 1/(1-Un)>=-1 car 1/(1-Un)>=0
2 vrai la suite U(n) converge vers l.
comme U negative, l=<0 donc l different de 1
donc V converge vers l/(1-l)
3 vrai U croissante.
V(n+1)-V(n)=(U(n+1))/(1 - U(n+1))-(Un)/(1 - Un)=[U(n+1)-U(n)]/[(1-U(n+1))*(1-Un)]
1-U(n+1) et 1-Un>=0
comme U est croissante U(n+1)-U(n)>=0
donc V(n+1)-V(n)>=0
donc V est croissante.
4.soit U(n)=-n
donc V(n)=(Un)/(1 - Un)=-n/(1+n)
V converge vers -1 mais U ne converge pas.
voila a+.
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